제곱근이 뭔가요

도대체 무엇이 뿌리라는 것일까

지난 시간 실패한 실험을 다시 시도합니다.

실은 알루미늄 철사로 바꾸고, 길이도 총 2미터2센티미터로 줄여서 실험합니다.

철사의 가운데 부분은 약 14cm 올라갑니다. 알루미늄 철사로 한 실험은 제대로 이루어졌습니다. 아이들의 실험치는 15cm로 실제와 큰 오차가 없었습니다.

그런데 루트 201 이 무엇을 말하는가? 도대체(都大體) 루트는 무엇인가?

알아보는 시간을 갖습니다.

우리가 피타고라스 정리를 배웠습니다. 피타고라스 정리는 모든 직각삼각형에 적용됩니다. 아래 그림도 마찬가지~

직각을 이루는 두 선분 길이의 제곱으로 나타나는 두 개 정사각형 넓이를 합하면 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이입니다. 그러니 위 주황색 정사각형 넓이가 "2"이고 연두색 정사각형 넓이가 "8"인 것은 당연합니다.

그런데 넓이가 "2"인 정사각형의 한 변 길이를 어떻게 나타낼 수 있을까요? 제곱해서 2가 되는 숫자가 무엇일까요?

제곱해서 1인 수는 1이고, 제곱해서 4인 수는 2이겠죠. 제곱해서 10000이 되는 수는 100입니다.

그래서 우리는 1은 1의 제곱근, 2는 4의 제곱근, 100은 10000의 제곱근이라고 합니다. 제곱근(根)은 제곱의 뿌리라는 말로 영어로 루트(root)라고 합니다. 이 때의 제곱은 두 제곱을 말합니다. 하지만 제곱해서 2가 되는 2의 제곱(루트2)을 표현하기 쉽지 않다는 것입니다. 정확하게 계산해보면 제곱해서 2가 되는 수는 "1.4142135623730950488016887242097.........." 즉 끝이 없습니다. 이런 수를 무리수라고 합니다. 원주율 π (3.141592653 5897932384 6264338327 9502884197 1693993751 0582097494 4592307816 4062862089 9862803482 53421170679821480865......)도 무리수입니다.

그렇기 때문에 영어 r의 변형으로

이런 모양을 숫자에 씌우고 루트라고 읽습니다.

잠깐 닮음꼴과 닮음비를 알아보고 갑시다.

아래 두 직각삼각형(연두색 삼각형과 노랑 삼각형)은 닮음꼴입니다. 두 삼각형의 세 각이 같다면 서로 닮았다고 말합니다.

위 연두삼각형 세 변 길이와 노랑 삼각형 세 변 길이의 비는 일정합니다. 반대로 두 삼각형의 대응변 끼리 길이 비가 일정하지 않다면 닮음꼴이 아닙니다. 

위 살구색 3개 삼각형이 큰 삼각형과 닮음꼴이 되기 위해서는 선분BC와 선분FG는 반드시 평행이 돼야합니다. 그래야 각AFG와 각ABC/각AGF와 각ACB가 동위각으로서 같을 수 있습니다. 다시 말해 선분FG가 선분BC와 평행하다면 살구색 삼각형과 큰 삼각형은 세 각이 같기 때문에 닮음꼴입니다.

중요한 것은 닮음꼴일 경우 변 길이의 비율, 즉 닮음비는 일정하다는 것입니다.

아래 두 그림에서 노랑 직각이등변삼각형은 세 각이 같기 때문에 닮음꼴입니다. 당연히 직각을 이루는 선분 길이가 "1"에서 "2"로 커졌다면 2^2(루트2)도 두 배로 커져야 합니다.

루트2가 두 배로 커지면 루트8이라는 것이 말하는 것이 무엇일까?

그렇다면 아래 경우 루트 18도 다음과 같이 간단히 할 수 있습니다.

조금 다른 모양의 직각삼각형을 알아봅시다.

위와 같이 두 각이 60도, 30도인 직각삼각형인 경우 어떤 크기일지라도 다음의 변 길이 비율을 보입니다.

좀 새로운 문제를 하나 제시합니다.

아래 작도에서 표시한 "높이"는 얼마인지 생각해서 계산해봅시다.

제곱근의 개념은 잘 알아듣는 듯 했습니다. 

물론 아래의 경우 답이 얼른 나오지 않았습니다. 

한참 술렁이다가 "0.5"라고 정답이 나왔지만 이해하지 못하겠다는 반응이 많았습니다.

0.5×0.5=0.25 를 필산으로 하면 모두 해결합니다.(학생 중 단순계산이 불가능한 아이들은 없습니다)

하지만 이것은 필산의 대상이 아닙니다.

0.25가 0.5의 제곱이라는 것이 머리에 떠오르지 않는다면 중학교 수학을 따라갈 수 없습니다.

위 명제는 학교식 수업을 공부라고 생각하는 패러다임에서만 '참'입니다.

이번 수학 수업을 진행하면서 세상에 하고 싶은 얘기가 이 지점에 있습니다.

우리 학생들(중학생 연령)은 학교식 수학수업이라면 한심한 경우가 대부분입니다. 25가 네 개 있으면 100이라는 것을 얼른 떠올리지 못하는 경우가 25%, 100의 1/4이 25라고 대답 못하는 경우는 50% 가량입니다. 0.125가 몇 개 있어야 1이 될 수 있는지 바로 대답하는 경우는 열 중 하나 정도입니다.(그러나 필산으로 하면 모두 답을 만듭니다)

이런 경우 단순 계산의 반복 훈련부터 시작해서 중고등학교 수학을 해결한다는 것은 매우 어렵습니다. 학습자가 질려서 학습을 감당하지 못합니다.

수학 공부에 대한 새로운 접근이 필요합니다. 현재 진행하는 수업이 그런 새로운 지평을 열기를 희망하면서 고민하고 있습니다. 따라서 겨울방학에도 원하는 학생에 한하여 수업이 진행될 예정입니다. 이에 학부모의 협조가 필요합니다.

 "협조의 내용은 다름 아닌 어른의 공부입니다" 

아래 그림에서 가=5, 나=10 임을 쉽게 계산합니다.

 아래에서 다=루트61, 라=루트28 도 해결합니다.

문제는 루트28과 2루트7이 같다는 것을 이해하는데 있었습니다. 

위와 같이 설명하고 다음의 문제를 냈습니다. 

잘 해결하지 못하고, 답과 해설을 들어도 이해하지 못하는 경우가 많았습니다. 일단 근호(루트 표시)에 대한 낯섦과 거부감이 큰 원인이지만, 32, 288, 72의 소인수분해 훈련이 되지 않은 것이 원인입니다.

학교식 수업에서 위 문제를 해결하지 못하면 다른 영역으로 진도를 나가지 못하고, 매우 낮은 평가를 받을 것입니다.

그러나 이러한 문제는 저절로 해결됩니다. 지금 어려워 한다고 초등5학년에 배우는 소인수분해를 강요하면 학습에 실패할 것입니다.