방정식을 이미지화 하기

이차방정식의 해는 왜 2개일까?

전개와 인수분해, 피타고라스 정리를 배웠으니 다음의 문제를 해결해봅시다.

중3 수학에서 다룰만한 문제이지만 놀랍게도 초등4학년 올림피아드 수학문제집에서 제시한 것입니다.(잘못된 것이지요)

초등 수학문제답게 방정식이나 피타고라스정리를 사용하지 않고 풀어야합니다. 어떻게? 문제를 잘 관찰하는 것이 우선입니다.

모퉁이(귀퉁이) 직각삼각형을 접었다면 접어서 나타난 삼각형은 접으려는 삼각형과 합동이므로 똑같이 22㎠.

아래 그림에서 노랑 정사각형은 225-22×8=49(㎠)임을 알 수 있습니다. 그러므로 노랑 정사각형의 한 변 길이는 7㎝입니다.

이제는 직관으로 풀 수 있습니다. 수학적 지식이나 추론이 필요없습니다. x값은 4라는 것을 알 수 있습니다.

이제 이 문제를 피타고라스 정리와 인수분해를 이용하여 이차방정식을 유도해서 풀어봅시다.

아래와 같이 단순하게 문제를 제시했다고 생각해 보세요. 중요한 것은 내접한 작은 정사각형의 넓이가 137㎠라는 것입니다.

아래 형태의 137㎠ 내접 정사각형도 있습니다. 그렇다면 구하고자 하는 x값은두 가지가  되겠지요.

위 표는 x값에 따라 노랑정사각형 넓이(y로 놓는다)가 어떻게 변하는지 알아보고자 만들었습니다. 여기서 (x,y) 형태의 점을 좌표평면에 표시할 수 있습니다.

그러면 다음의 함수식이 만들어집니다.

위 함수는 어떻게 만들어졌을까요?

우리가 구하고자 하는 것은 선분AB의 길이, 즉 x값입니다. x값을 구하기 위한 방정식을 만들기 위해 피타고라스 정리를 이용합니다.

이렇게 우리가 구하고자 하는 값을 x로 나타낸 방정식을 얻었습니다. 그런데 미지수 x가 이차원(제곱 형태)이므로 이차방정식이 만들어진 것입니다.

먼저 인수분해를 위해 (a-b)(a-c)의 경우를 도형을 통해 이해하도록 합니다. 먼저 a^2(a제곱)을 작도합니다.

a-b 길이를 나타내는 점과 a-c 길이를 나타내는 점을 작도하고 (a-b)(a-c) 곱으로 나타나는 직사각형을 표시합니다.

(a-b)(a-c)는 a제곱에서 어떤 넓이가 제거되는지 살펴봅시다.

이차방정식의 해를 구하기 위해 이차함수 그래프를 이용할 수 있습니다.

그래프가 x축과 만나는 교점의 x좌표가 방정식의 해입니다. 이차방정식의 경우 포물선을 그리는 그래프가 x축을 두 번 지나갈 수 있는데, 두 개의 해(실근)를 가집니다. 포물선과 x축이 한 점에서 만나면 하나의 해를 가지며 이를 "중근"이라고 합니다.

포물선이 x축과 만나지 않는 경우는 두 개의 허수근을 가지며 이를 허근이라고 합니다.

아래 그래프는 수업에 제시한 문제를 피타고라스 정리 형태로 방정식을 만들었을 때 나타나는 이차함수를 보여줍니다.

그래프가 x축의 +4와 +11에서 만납니다. 그러므로 두 실근 4, 11이 방정식의 해입니다.

아래 그래프는 수업에 제시된 문제 도형의 한 귀퉁이 직각삼각형의 넓이만을 생각한 방정식을 나타낸 함수입니다.

마찬가지로 x축의 +4와 +11을 그래프가 지나갑니다. 이는 y값이 0일 때 x값을 말합니다.

선분AB 길이에 따른 내접 정사각형의 넓이 관계를 나타낸 다음 그래프는 실근을 갖지 않습니다.

현 단계에서 방정식을 푸는 방법을 이해하기 보다는 이차함수의 그래프 특성을 직관적으로 살펴보는 것이 중요합니다.