34. 한국 수학이 왜 문제인가?(2)
수능, 대입, 교육 그리고, 수학
1. 과연 한국 수학(혹은 수능)의 범위는 타당한가?
2. 대한민국 수학 교육과정은 잘 되어 있는가?
3. 기하와 벡터가 어려운 이유
4. 한국수학(혹은 수능 수학)이 어려운 이유
5. 대한민국 수학 교육이 가지는 근본적인 문제는?
6. 그래서, "볼드모트"는 누구인가?
7. 각자의 입장(교육부, 학원, 대학, 학부모, 학생)에 따른 대입전략
3. 기하가 벡터가 어려운 이유
2021년 수능의 수학 범위에 관한 기사가 처음나왔을 때, 한학생이 했던 이야기가 있다. 우선 다음 동영상을 확인해 보시라. [JTBC뉴스] 교육부, 2022 수능서 수학·과학 범위 축소…엇갈린 시선
그리고, 이에 대해 수학과 교수는 다음과 같이 불만을 제기 했다
우선, 나는 학생의 말에는 동의 할 수가 없다 (내가 꼰대라고 불려도 할 수없다). 그렇다고 해서, 수학과 교수의 말에도 100%동의 하지 않는다. 우선, 기하과 벡터(사실 벡터 또한 기하에 포함)는 다른 나라 고3수준에서 배워야할 범위에 충분히 포함 될 수 있다. IB나 A-Level 시험을 주로 보는 영국의 경우, 기하학과 벡터는 수학을 선택한 이들에 대해서는 기본적으로 들어가는 범위이다. 물론, 고3을 졸업할 만한 수준에는 포함되지 않을 수 있다. 하지만, 대학에 입학하여 학업을 수행하기 위한 기본 과정의 측면에서 봤을 때는 당연히 있어야할 범위이기도 하다. 심지어, 수학의 최소한의 범위를 다루는 SAT(일반)의 경우도 기하학(혹은 도형)문제는 심심치 않게 등장하는 주제이기도 하다. 어쨋든 기하학을 고3까지 수학의 범위에 넣을 것이냐 말 것이냐의 문제는 논외로 한다 (이 부분에 대해서는 나중에 다룰 기회가 있을 것이다) 오늘 하고 싶은 이야기는 과연 고등학교에서 배우는 기하와 벡터 (보다 넓은 의미로 기하학)이 정말 어려운 과목인가 하는 점이다. 물론, 대학에서 혹은 대학원에서 배우는 기하학은 어려운 분야이다. 사실, 모든 수학분야가 대학교 고학년 이상을 넘어가면 다 어렵다. 내가 이야기하는 것은 고3수준(K-12의 12학년 수준, Y13의 13학년수준)의 기하와 벡터를 의미한다. 그리고, 통상적으로 말하는 고3수준의 수학이 절대로 쉽지 않다. 그리고,
쉽지 않은 수학과정을 쉽고 재미있게 가르칠 방법은 없다.
그리고, 이러한 수학을 제대로 이해하고, 활용하기 위해서는 본인이 공부해야 한다. 그렇다. "본인"이 해야 하고, "본인"이 깨쳐야 한다. 그렇기에 나는 위의 수학과 교수가 하는 말 또한 동의를 할 수 없는 것이다.
그렇다면, 아이들의 입장은 어떨까? 적어도 인터뷰의 내용을 보면, 요즘 아이들이 기하학을 어려워하는 것으로 보인다. 그리고, 그 말이 거짓은 아닐 것이다. 이러한 내용을 제대로 파악을 하기위해서는 "어려운 수학 문제"란 무엇인가?에 대한 고민을 해볼 필요가 있다. 과연,
어려운 수학문제란 무엇인가?
수학이라는 학문적 탐구의 여부를 떠나 모두 중요한 이유는 바로 "(논리적으로) 생각하는 능력"을 키워준다는데 있다. 그리고, 수학을 옹호하는 많은 이들도 수학을 배워야 하는 이유에 대해서 같은 이유를 말한다. 어쨋든 생각하는 능력이 수학실력의 중요한 요소임은 틀림없는 사실이다. 사실, 수학문제가 어렵다는 의미는 크게
1. 많이 생각해야지만 풀 수 있는 문제
2. 많이 알아야지만 풀 수 있는 문제
로 나눈다. 특히, 변별력을 요하는 전세계의 수학 시험(수능, IB, A-Level, SAT등)들애 나오는 문제들의 난이도는 이 두가지 요소에 의해 결정이 된다. 더구나, 수학의 분야에 따라, 지식적인 내용을 아는 것이 보다 더 필요한 분야와 지식적인 내용보다는 많은 생각을 더 필요로 하는 분야가 존재 한다. 아, 그렇다고, 생각을 많이 하는 분야라고 해서 지식적인 습득이 전혀 필요없다는 의미는 절대 아니며, 지식적인 부분이 중요한 분야라고 해서 생각을 않해도 된다는 의미는 아니다. 다만, 상대적으로 그렇다는 의미이다. 예를 들자면, 미분과 적분은 극한을 "배워야" 적용 할 수 있다. 미분/적분/극한의 지식이 없는 이들에게는 미분/적분 문제는 어려운 문제를 넘어선 "풀수 없는" 문제에 해당한다. 특히, 미분과 적분의 근간이 되는 "극한"은 단순한 공식이 아니라, 개념적으로 정확하게 알고 있어야지만 올바른 미/적분을 할수 있다. 이에 반해, 기하는 지식적인 부분은 미/적분에 비해 그리 많지 않다(물론, 고3수준의 수학을 기준으로 이야기함). 즉, 기하(벡터)는 생각을 많이 해야하는 문제이다. 많이 알아야 풀 수 있는 문제는 해당 지식을 알고 있으면(즉, 공식등을 외우고 있으면), 풀 수 있는 문제들인 반면, 생각을 해야 하는 문제는 근본 원리를 정확하게 알고 있어야 풀 수 있는 문제들이다.
기하가 어려운 이유는 우선 기본적인 지식에 비해서 변화를 줄 수 있는 여지가 다른 분야보다 넓고, 기본 원리만 가지고도 다양한 유형의 문제가 출제가 가능하기 때문이다. 이러한 유형의 문제들을 잘 풀기 위해서는 기본적으로 생각하는 능력을 키워야 한다. 그리고, 생각하는 능력은 학원을 다닌다고, 문제를 많이 푼다고 해결 할 수 있는 것이 아니다. 그리고, 생각하는 능력을 키우는 것이야 말로 유년시절에 수학을 배워야하는 가장 근본적인 이유이기도 하다. 너무나 당연한 이야기이지만, 생각하는 능력을 키우기 위해서는 생각을 많이 해야 한다. 문제를 많이 푼다고, (학원에서) 지식을 넓힌다고 절대로 되는 일이 아니다.
4. 한국 수학이 어려울 수 밖에 없는 이유
한국 수학 어려운 이유는 사실상 "변별력"과 상관이 있다. (논리적으로) 생각하는 능력을 키운다는 수학교육의 근본 이유와는 전혀 상관 없이,
한국 수학의 모든 과정은 대입(수능)에서 시작해서 대입에서 끝난다.
즉, 아이들의 사고하는 능력이나 문제해결 능력과는 별개로 한국 수학은 어떤식으로든지 아이들의 수학실력을 눈에 보이는 잣대로 평가를 하고자는데 목적이 있기 때문에, 어떤 식으로든지 문제를 잘 푸는 사람이 많아지면, 어려울 수 밖에 없는 것이다. 예를 들어, 수학 문제를 아무리 체계적으로 모든 난이도를 고루고루 만들었다고 하더라도, 그 문제가 대입과 같은 아이들의 선별해야하는 시험이라면, 그리고 시험을 치는 집단의 성적이 모두 다 잘 나온다면, 문제를 어렵게 할 수 밖에 없다는 의미이다. 예를 들자면, 이런거다. 수학성적만으로 100명의 아이들을 뽑는다고 했을 때, 150명의 아이들이 만점을 받는 상황이라면, 어떻게 해서든지 100명의 아이들(혹은 그 이하의 수)이 만점을 받도록 그 난이도를 조정해야 한다는 의미이다. 여기서 중요한점 한가지는, 100명 입학정원에 150명이 수학을 만점을 받았다는 것과, 만점을 받은 아이들이 적정수준(고3정도의 나이에 필수적으로 배워야할 수학)의 수학능력을 가지고 있는 것과는 전혀 별개의 문제라는 것이다. 즉, 100명정도 만점이 나올 시험에 150명이 만점이 나왔다는 의미는 생각보다 많은 아이들의 수학실력이 좋아서 일수도 있지만, (시험) 문제가 변별력이 없어서 일 수도 있단 말이다. 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 아이들의 수능 수학문제를 잘 못푼다는 것과 고3수준의 수학능력과는 별개이다. 원래 수학문제의 목적은 수학능력의 객관적인 평가 목적이지만, 우리나라의 수학문제의 목적은 수능 즉, "변별력"에 목적이 있기에 이러한 기이 현상이 나타날 수밖에 없다. 문제를 잘푸는 아이들이 많으면, 문제가 어려워야 한다. "변별력"을 높이기 위해서는 말이다. 그리고, 이는 아이들이 실제로 필요한 수학능력을 학습했느냐와는 전혀 관련이 없다. 그렇기에, 수능시험의 성적과 고3정도 나이에 가져야할 수학능력(실력)은 "별개"이다. 이런점에서 봤을때, 고차원 미/적분까지 수능에서 척척 풀고, 기하와 벡터 문제를 척척 풀어내던 고3들이 국내 명문대에 합격해도 수학실력이 없다고 교수들이 불평 하는 것은 어쩌면 당연한 일인지도 모른다.
그렇다면, 왜 이러한 기이한 현상이 나타나는 것일까? 물론, (수학)문제의 목적이 다른 것이 그 이유이긴 하다. 하지만, 이러한 근본적인 문제의 저변에는 "볼드모트"가 있다.
[계속]
