수학의 아름다움
저는 항상 수학 문제를 풀 때마다 이렇게 생각합니다.
'아-집에 가고 싶다-.'
그런데 가끔씩은 원가 수학이 아름다울 때가 있단 말이죠? X와 Y. 실수와 허수. 그 사이의 미묘한 사랑 이야기와 주인공의 성장 이야기! 씁쓸하고도 달콤한 그 플롯이, 바로 그 수학에 담겨있다는 말입니다!
'이게 뭔 헛소리야!' 하고 물으신다면, 맞습니다! 그런 책이에요!
이차함수라고 아시나요? y=ax²+bx+c(단, a, b, c는 상수)라는 모습을 가지고 있는 이 식들은 포물선의 모양을 띠고 있습니다. 그리고 이 그래프의 근(y가 0일 때, 식이 참이 되도록 하는 x의 값)은 x축과 그래프의 교점에서의 x값이죠.
따라서 x에 대한 이차함수의 실근이 없을 때, x축과 만나는 점이 없습니다.
실근이 없는 이차함수의 그래프하지만 이 그래프가 절대 x축과 만나지 않을까요? 무언가 희미하게 저 그래프들이 저 직선과 만나는 모습이 보이지 않으십니까?
사실 이 그래프들은 근이 허수일 때 x축과 만나게 됩니다. 실제로는 존재하지 않는 어느 좌표에서 만나게 된다는 소리이죠. 뭔가 아름다운 생각이 나지 않습니까?
-내가 그대와 만나지 못하더라도, 다른 곳 어디에서는 그대와 만날 수 있기를.
사랑할 수 없는 사이에서의 그 오묘한 감정상이 마구 떠오릅니다. 만날 수 없는 둘이, 다른 평행우주 어딘가에선 사랑하는 연인이라는 헛소리. 그 헛소리만 들어도 무언가 마음이 안정되고 설레는 느낌. 그게 제가 발견한 수학의 첫 아름다움이었습니다.
분수함수라고 아시나요? 유리함수 중, 다항함수가 아닌 함수를 '분수함수'라고 칭합니다. 여기에서 용어 정리가 조금 필요할 것 같네요.
유리함수는 F(x)/Q(x) 꼴로 나타내어지는 함수를 뜻합니다. 따라서, 함수(x)/함수(x)라고 볼 수 있겠죠. 당연히 여기서 말하는 두 함수는 다른 함수죠. (같은 함수일 수도 있구요.) 그래서 상수식으로 나누어진 일차 함수(직선)와 이차 함수(포물선)도 모두 유리함수로 칭해집니다.
하지만 우리가 이야기할 함수는 조금 다릅니다. '분수함수.' 보통 일차식/일차식의 형태를 띠는 친구들이죠.
분수함수분수 함수의 종류도 다양하지만, 딱 이 모양이 좋겠네요.
이런 모양의 분수함수에게는 '점근선'이라는 개념이 있습니다. 점근선이란, 지금 그림에서 보이는 'x=3' 직선과 'y=2' 직선을 뜻하죠. 저 선이 끝없이 가까워지면서도 만날 수 없는 저 직선 말입니다.
-언젠간 만날 수 있기를. 조금 더, 조금 더.
그 간절한 외침과 희망. 언젠가는 만날 수 있다는 그 마음. 하지만 절대 만날 수 없는 그 사실의 괴리감이 이 플롯을 더 매력적이게 만들어 줍니다.
'무한'에 대해서 얼마나 잘 아시나요? 무한이란 무엇보다 큰 수를 뜻하는 기호입니다. 그럼 이 무한을 함에 이용하면 어떻게 될까요?
사실 함수에서는 꽤나 쉽게 무한을 만나볼 수 있습니다. 당장 x=y 그래프만 볼까요? 이 그래프는 멈추지 않습니다.
이 함수는 x축의 방향으로 끝없이 이어집니다. 그럼 이 그래프가 가질 수 있는 x좌표의 최댓값을 뭐라고 부를 수 있는지 아십니까? '무한'이라고 부릅니다. lim n→∞ 를 사용해 수로도 나타낼 수 있으며, 특성으로 인해 존재 자체만으로도 꽤 매력적인 개념이죠.
이 개념을 보면 어떤 사람이 떠오르십니까? 이 개념과 가장 가깝다고 생각하는 사람이 누구죠? 저는 이 개념에서 명랑한 어린아이를 떠올릴 수 있었습니다. 수의 크기에 비례하는 사람이 아니라, 무한한 가능성을 가지고 있는 아이 말입니다.
제 어릴 적 꿈은 포크레인이었어요. 비행기가 꿈이었던 사람들도 많았는데. 아이는 그 자체로 아름다운 '무한'이 아닐까 싶습니다. 무한한 가능성. 무한한 꿈. 팽창하는 생각. 수렴하는 결과에도 웃음으로 이겨내는 패기. 어때요? 이제 점점 수학에서 세계가 보이지 않나요?
가끔씩은 심심할 때 이렇게 평소에 가진 생각들을 연재해 보는 것도 좋을 것 같네요. 헛소리 시리즈에서는 갑자기 체스 강좌를 올릴 수도 있고, 우쿨렐레 치는 법, 기타 치는 법을 올릴 수도 있어요. 그냥 원하는 거 아무거나 하는 책이니, 관심 가져 주셨으면 합니다!
독자 여러분들 모두 감사하고 사랑합니다!