현미경으로 포착한 '불가능한 별'
수학적 비율과 기하학이 우주의 근본 법칙을 담고 있다는 믿음은 피타고라스와 플라톤을 거쳐 요하네스 케플러에 이르기까지 인류 지성사의 중심을 관통해왔다. 이는 단순한 수식의 나열이 아니라, 종교적 신비와 예술적 영감이 결합된 인류 공통의 '설계도'였다.
올라퍼 엘리아슨: 빛과 형상으로 쓴 우주 시(詩)
"어렸을 적 제가 바닥에 엎드려 연필로 그림을 그리고 있을 때, 그 모습을 지켜보던 어머니께서 말씀하셨죠. '올라퍼, 네가 지금 연필 끝으로 지구를 밀고 있구나!'"
이 짧은 일화는 올라퍼 엘리아슨의 작품 세계를 관통하는 핵심 철학을 보여준다. 그는 관람객을 단순히 보는 이가 아니라, 환경에 영향을 주고받는 '능동적 참여자'로 정의한다. 전시장 안으로 빛, 물, 공기 같은 자연의 요소를 끌어들여 관람객의 움직임에 따라 작품이 변하게 만드는 그의 시도는, 우리가 세계와 맺고 있는 미세하지만 근본적인 관계에 대한 탐구다.
플라톤의 우주: 다섯 개의 원소, 다섯 개의 도형
6각형이면서 큐브같은 정20면체. 6각형의 효율성과 큐브의 안정성을 동시에 품은 듯한 이 도형은 질서의 정점이다고대 그리스 철학자 플라톤은 우주의 근본 구조를 기하학에서 찾았다. 그는 세상을 구성하는 4대 원소와 전체 우주를 정다면체에 대응시켰다.
정4면체(불) / 정6면체(흙) / 정8면체(공기) / 정20면체(물)
정12면체(우주):12개의 오각형으로 이루어진 이 신비로운 도형은 우주 전체, 혹은 신성한 제5원소인 '에테르'를 상징한다.
요하네스 케플러의 《세계의 조화》: 천구의 음악(Musica Universalis)
케플러 <세계의 조화>에 수록된 다각형으로 구성된 테셀레이션 삽화1619년 출판된 케플러의 저서 《세계의 조화(Harmonices Mundi)》는 수학, 천문학, 음악을 하나로 통합한 거대한 시도였다. 케플러는 행성들이 태양 주위를 돌며 만들어내는 속도의 변화가 인간이 듣기에 가장 아름다운 '음악적 화음'과 일치한다고 믿었다.
그는 행성이 태양과 가장 멀어지는 '원일점'과 가장 가까워지는 '근일점'에서의 속도 비율을 계산했고, 그 속도차에서 발생하는 화음을 '천구의 음악'이라 명명했다. 우주는 침묵 속에 연주되는 거대한 오케스트라와 같다는 통찰이다.
이 지독할 정도의 기하학적 집착은 결국 인류 역사에 남을 위대한 성과를 낳았다. 바로 ‘케플러의 행성 운동 제3법칙’이다.
"공전 주기(T)의 제곱은 궤도 장반경(a)의 세제곱에 비례한다" 행성의 궤도가 단순히 우연히 놓인 것이 아니라, 정교한 수학적 상수값에 의해 묶여 있다는 사실을 밝혀낸 것이다. 이는 우주가 무작위한 혼돈이 아니라, 고도의 질서를 가진 '조화로운 시스템'임을 증명한 사건이었다.
올라퍼 엘리아슨이 연필 끝으로 지구를 밀어냈듯, 케플러는 펜 끝으로 우주의 화음을 받아 적었다. 이들의 공통점은 명확하다. 사소한 파편(Trivia) 너머에 있는 거대한 구조(Topology)를 감각하고, 그 속에 숨겨진 본질적 아름다움을 포착해냈다는 점이다.
로저 펜로즈 : 정오각형의 금지된 대칭을 찾아서
(강연장에 불이 꺼지고, 펜로즈 경이 오래된 고서 한 권을 스크린에 띄우며 입을 엽니다.)
"여러분, 반갑습니다. 제 아버지는 케플러의 저서를 소장하고 계셨습니다. 저는 아주 어린 시절부터 그 책 속의 정교한 그림들을 보며 자랐죠. 그때 제 소년 시절의 눈길을 유독 강렬하게 사로잡은 것이 있었습니다. 바로 케플러가 그려낸 '오각형'들이었습니다.
사실 수학이나 물리학에서 오각형은 꽤나 다루기 까다로운, 일종의 '골칫덩이' 같은 도형입니다. 삼각형이나 사각형처럼 평면을 빈틈없이 채우기(Tessellation)가 불가능하기 때문이죠. 하지만 케플러는 이 오각형이 결코 쓸모없는 존재가 아니라는 것을 본능적으로 알고 있었던 것 같습니다. 그는 오각형을 통해 아주 흥미로운 기하학적 실험들을 멈추지 않았습니다.
케플러는 대체 무엇을 보고 있었던 걸까요? 어쩌면 불가사리나 꽃잎 같은 생명체 구조 속에 숨은 생물학적 규칙을 들여다보고 싶었는지도 모릅니다. 아니면 당시에는 상상조차 못 했던 원자 결정의 '5중 대칭(Five-fold symmetry)'이라는 우주의 신비를 예감했을지도 모르죠. 그 정확한 의중은 이제 알 길이 없지만, 확실한 것은 그가 만물의 밑바닥에 흐르는 패턴을 읽어내려 했다는 점입니다.
특히 흥미로운 대목은 그가 이른바 ‘케플러 추측(Kepler Conjecture)’에 몰두했다는 사실입니다. '3차원 공간에서 구(Sphere)를 가장 촘촘하게 쌓는 방법은 무엇인가?'라는, 아주 단순해 보이지만 지독하게 난해한 질문이었죠. 이 문제는 무려 400년 가까이 수학계의 난제로 남아있었습니다. 그러다 아주 최근에 와서야 컴퓨터의 엄청난 연산 능력을 빌려 겨우 증명될 수 있었죠. 결과는 어땠을까요? 놀랍게도 케플러가 수백 년 전 오직 '직관'만으로 제안했던 그 방식이 정답이었습니다. 최첨단 컴퓨터조차 결국 케플러가 옳았음을 인정하게 된 셈입니다."
(펜로즈 경이 미소를 지으며 자신의 연구 자료와 케플러의 도판을 겹쳐 보입니다.)
"자, 이제 제가 발견한 오각형 패턴을 케플러의 그림 위에 슬쩍 겹쳐보겠습니다. 바로 이 부분입니다.
수백 년 전 케플러가 남긴 그림을 자세히 보면, 아주 기묘한 '작은 선' 하나가 툭 하고 그어져 있습니다. 사실 그가 왜 여기에 선을 그렸는지는 아무도 모릅니다. 어쩌면 그저 실수로 그은 잉크 자국일지도 모르고, 우리가 모르는 그만의 비밀스러운 의도가 있었을지도 모르죠.
그런데 정말 놀라운 일은 지금부터입니다. 여기에 제가 연구해온 '비주기적 테셀레이션’ 을 케플러의 그림 위에 겹쳐서 올려보았습니다. 보십시오. 제 패턴은 케플러의 패턴과 놀라울 정도로 정확히 일치합니다. 심지어 그가 실수처럼 남겨두었던 저 '작은 선'의 위치까지도 말이죠!
수백 년의 시차를 두고 떨어진 두 사람의 생각이, 이 작은 선 하나에서 완벽하게 만난 것입니다. 이것은 단순한 우연일까요? 아니면 케플러가 이미 그 시절에 우주의 근본적인 기하학적 질서, 즉 훗날 우리가 '준결정(Quasicrystal)'이라 부르게 될 그 금지된 대칭의 씨앗을 이미 꿰뚫어 보고 있었다는 증거일까요?
우리는 그 진실을 다 알 수 없지만, 이 일치함이 주는 지적인 전율만큼은 부정할 수 없을 것 같습니다. 케플러는 이미 1619년, 그의 저서 《세계의 조화》를 통해 평면을 채우는 질서의 새로운 가능성을 열어둔 선구자였습니다."
준정규 테셀레이션(Archimedean Tessellation): 케플러가 체계적으로 정리한 개념입니다. 한 종류의 정다각형만 쓰는 것이 아니라, 여러 종류의 정다각형을 섞어서 평면을 빈틈없이 채우되, 어느 꼭짓점을 보더라도 주변의 도형 배치가 똑같은 상태를 말합니다.
비주기적·준주기적 테셀레이션(Penrose Tiling): 펜로즈 경이 발견한 패턴으로, 평면을 빈틈없이 채우지만 일정한 무늬가 반복되지 않는(비주기적) 구조입니다. 전체적으로는 완벽한 수학적 질서(준주기적)를 유지하며 평면을 채우는 구조입니다. 이는 현대 재료과학에서 '준결정'의 구조를 설명하는 핵심 이론이 되었습니다.
강연 이어서: 시공간을 넘은 정오각형의 대화
(펜로즈 경은 잠시 말을 멈추고, 스크린 속 겹쳐진 두 도판을 지긋이 바라봅니다.)
"방금 보신 이 일치는 우리에게 중요한 질문을 던집니다. 케플러가 마주했던 '빈틈'과 제가 마주했던 ‘빈틈’사이에 대체 어떤 강이 흐르고 있는 것일까요?
사실 케플러의 준정규 테셀레이션은 철저하게 '주기적'인 세계를 지향했습니다. 보도블록이나 격자무늬처럼, 일정한 패턴이 무한히 반복되며 평면을 안정적으로 채우는 질서였죠. 하지만 케플러는 그 완벽한 규칙의 세계를 정리하면서도, 유독 정오각형만큼은 그 틀에 가둘 수 없음을 깨달았습니다. 정오각형을 이어 붙일 때마다 필연적으로 발생하는 그 미세한 틈새들, 그것은 당시의 수학으로는 설명할 수 없는 일종의 '금지된 영역'이었습니다.
수백 년 후, 저는 그 빈틈을 메우려 애쓰는 대신, 그 빈틈이 가진 '반복되지 않는 성질'에 주목했습니다. 케플러가 정오각형의 굴레에서 발견했던 그 기묘한 어긋남은, 사실 패턴이 영원히 반복되지 않으면서도 전체적인 질서를 유지하는 비주기적/준주기적 테셀레이션으로 가는 유일한 열쇠였던 셈입니다.
재미있는 사실은, 케플러가 그토록 사랑했던 정오각형의 비율 안에 이미 답이 숨어 있었다는 점입니다. 정오각형의 대각선과 변의 비율, 즉 황금비(약 1.618) 말입니다. 제 펜로즈 타일링에서 '연'과 '화살' 모양의 타일 개수 비율을 무한히 확장해 나가면, 결국 케플러의 오각형 속에 흐르던 그 황금비에 수렴하게 됩니다.”
펜로즈 준주기적 타일링 : 5중 준대칭성금지된 대칭 '정오각형', 마침내 현실이 되다 : 셰흐트만이 현미경으로 포착한 '불가능한 별'
준결정체의 전자 회절 패턴 Perfect Pentagons펜로즈는 타일의 모양에 '연결 규칙(Matching rules)'이라는 제약을 걸어, 타일들이 특정 방식으로만 결합하게 만들었다. 그는 단 두 종류의 타일(연과 화살, 또는 두 종류의 마름모)만으로 평면을 가득 채우되, 패턴이 절대 반복되지 않는 테셀레이션을 완성했다.
펜로즈 타일링에서 '연' 타일과 '화살' 타일의 개수 비율은 무한히 확장할수록 정오각형의 황금비에 수렴한다. 결국 케플러가 정오각형으로 평면을 채우려다 마주한 '어긋난 빈틈'은 오류가 아니라, 자연이 숨겨놓은 '반복되지 않는 고차원적 질서'로 가는 문이였던 셈이다. 케플러의 준정규 테셀레이션이 '반복되는 조화'를 증명했다면, 펜로즈는 '반복 없이도 유지되는 질서'를 보여주었다. 수백 년의 시간을 두고 마주 잡은 손 끝에서, 우주의 가장 은밀하고도 아름다운 대칭이 완성되었다.
하지만 이 경이로운 조화는 수학적 유희에 머물지 않았다. 1982년, 이스라엘의 재료과학자 다니엘 셰흐트만은 알루미늄-망간 합금을 관찰하던 중 자신의 눈을 의심케 하는 광경을 목격한다. 전자현미경 너머로 나타난 전자의 회절 무늬가 완벽한 '5중 대칭'을 그리며 빛나고 있었기 때문이다. 중앙을 중심으로 점들이 정교한 10각형(또는 5각형) 모양을 이루는 이 패턴은 당시 결정학의 상식을 완전히 뒤엎는 것이었다. 당시 과학계의 상식으로 이는 도저히 있을 수 없는 일이었다. 원자들이 규칙적으로 배열된 '결정(Crystal)'이라면 반드시 주기적으로 반복되어야 하며, 5중 대칭은 공간을 빈틈없이 채울 수 없는 '물리학적으로 금지된 구조'였기 때문이다.
주류 과학계의 반발은 거셌다. 노벨상을 두 번이나 수상한 거장 라이너스 폴링조차 “준결정(Quasicrystal) 같은 건 없다, 오직 준과학자(Quasi-scientist)가 있을 뿐이다”라며 그를 공개적으로 비난했을 정도였다.
그러나 셰흐트만이 발견한 이 ‘불가능한 결정’을 설명할 유일한 열쇠는 바로 펜로즈의 테셀레이션에 있었다. 셰흐트만이 학계의 냉대 속에서 고전할 때, 펜로즈의 이론은 그의 실험 결과가 수학적으로 완벽하게 가능한 실체임을 뒷받침하는 강력한 증거가 되어주었다.
이는 마치 1919년 개기일식 당시 태양 뒤편의 별빛이 굴절되는 순간을 목격하며 현대 물리학의 지평을 넓혔던 사건과도 같다. “수학적으로만 존재하던 휘어진 시공간이 진짜 우주였다”는 아인슈타인의 예언이 에딩턴의 관측으로 증명되었듯, “수학적으로만 존재하던 비주기적 타일링이 진짜 물질이었다”는 펜로즈의 통찰은 셰흐트만의 실험을 통해 그 실체를 드러냈다. 두 발견 모두 당대 최고의 권위와 상식에 도전하여, 보이지 않던 우주의 질서를 인류의 눈앞에 선명히 시각화해낸 위대한 패러다임의 전환이었다.
결국 2011년, 다니엘 셰흐트만은 이 발견으로 노벨 화학상을 수상한다. 케플러가 보았던 정오각형의 빈틈이 수백 년의 세월을 건너 ‘새로운 물질의 상태’를 정의하는 위대한 발견으로 부활한 것이다.
반복 없이도 완벽한 질서를 가질 수 있다!
준결정(Quasicrystal)은 결정(질서)과 비결정(무질서)의 경계에 있는 물질로, 펜로즈 타일링의 입체 버전이라 할 수 있다. 준결정 속의 원자들은 비주기적(Aperiodic)이면서도, 전체적으로는 정교한 장범위 질서(Long-range order)를 유지한다. 준결정의 비주기적 패턴, 이 '반복되지 않음'은 결코 무질서를 의미하지 않는다. 오히려 그 속에는 더 높은 차원의 체계가 숨어 있다. 개별 원자들의 결합은 제각각인 듯 보이지만, 시야를 넓혀 전체를 조망하면 아주 멀리 떨어진 원자들조차 하나의 정교한 설계도 아래 일사불란하게 정렬되어 있다. 마치 오케스트라의 수많은 악기가 서로 다른 음을 내면서도, 멀리 있는 청중에게는 하나의 웅장한 화음으로 전달되는 것과 같은 이치다.
1619년의 케플러, 1970년의 펜로즈, 그리고 1982년의 셰흐트만까지. 그들은 ‘반복되지 않는 조화’라는 우주의 비밀을 공유하고 있었다. 질서란 반드시 똑같은 모습의 반복이어야만 하는 것은 아니다. 어쩌면 결코 되풀이되지 않는 세밀한 어긋남 속에 우주의 가장 깊고 오묘한 음악이 흐르고 있다는 사실을, 케플러는 이미 직관하고 있었던 것이 아닐까.
2011 노벨화학상 강연 자료엔딩 크레딧. 2025년 여름, 떠종이에게 선풍기를 사준 날.
선풍기를 한참 관찰하던 떠종이가 말했다. “엄마 이것 좀 봐. 감동이야.”
떠종이 전용선풍기에 쓰여진 문구떠종이는 보드라운 겨울 이불을 좋아해서 집안에서도 거실과 방을 오가며 꼭 이불을 끌고 다닌다. 그런데 동시에 시원한 선풍기도 좋아한다. 손에 땀이 흥건히 나는 체질이기 때문이다. 한여름에도 이불을 뒤집어쓰고 선풍기를 틀고 있는 떠종이를 매번 혼내지만, 가만히 생각해보면 더움과 시원함 그 사이 어딘가에 떠종이만의 힐링과 행복이 있는 것 같다.
우주의 거대한 질서도 결국 이런 작은 틈새와 모순된 연결 속에서 피어나는 것이 아닐까.
☁ 올라퍼 엘리아슨(Olafur Eliasson, 1967.2.5.~) : 덴마크 설치미술가, 자연현상과 지각,경험의 상호작용으로 예술세계를 표현, 대표작품은 날씨프로젝트의 ‘인공태양’,’빙하’
☁ 다니엘 셰흐트만(Dan Shechtman, 1941.1.24.~): 이스라엘의 재료과학자. 비주기적 구조를 가진 '준결정'을 발견하여 2011년 노벨 화학상을 수상함
<참고자료>
올리퍼엘리아슨 그림출처 PKM갤러리, 5년 만에 올라퍼 엘리아슨 개인전 - 파이낸셜뉴스 PKM갤러리 올라퍼 엘리아슨 전시 "공존을 위.. : 네이버블로그
펜로즈 테셀레이션 강의 캡쳐 강의내용 발췌 인용하여 재구성 https://youtu.be/th3YMEamzmw?si=5cZO1HReNZJotLj3
케플러 <세계의조화> 수록그림 출처 Johannes Kepler - David Bailey's World of Tessellations
로저펜로즈 저 황제의 새 마음 (The Emperor's New Mind, 1989) 629p,630p
준결정의 수학: 펜로즈 타일링 – 고등과학원 HORIZON https://horizon.kias.re.kr/24400/
2011년 노벨 화학상 "Scientific Background" -펜로즈 타일링과 셰흐트만 실험의 상관관계 도식화, 그림자료 https://www.nobelprize.org/prizes/chemistry/2011/popular-information/
https://www.chemistryworld.com/features/quasicrystals-scoop-prize/3004748.article