제곱근이 있는데 왜 지수와 로그가 필요한가요?
저는 국어, 영어, 일본어, 한자 등 언어 대비 수학이 다소 미치지 못해서 고등학교 졸업 후에도 계속 대학원 수업과 학술논문을 읽기 위해 파이썬 코드로 재미있게 배워보니 다시 수학과 친구 먹기로 했어요. 그리고 수학은 암기가 아니라 이해를 한다면, 당장 문제는 풀지 못하더라도, 이건 미분의 개념 같은데.. 현실세계의 현상을 풀어낼 수 있다고 믿어요. 오늘은 "제곱근(√)이 있는데 왜 지수(exponent)와 로그(logarithm)가 필요한가?"라는 상식적인 질문에 대해 풀어보려 해요. 제곱근은 4의 제곱근이 2인 거, 알죠? 간단하잖아요. 그런데 왜 더 복잡한 지수와 로그를 쓰는 걸까요? 이걸 파이썬으로 그래프를 그리며 천천히 풀어볼게요. 직접 그림을 보면 "아, 이게 왜 필요한지!" 하실 거예요. 자, 편안히 앉아서 따라와 보세요.
먼저, 지수와 로그가 뭔지 간단히 떠올려보죠. 지수는 "밑(base)을 몇 번 곱하나"예요. 오늘은 특별한 밑 'e'를 써볼게요. e는 약 2.718이라는 숫자로, '자연상수'라고 해요. 왜 특별하냐면, 무한히 작은 복리를 계산할 때 나오는 마법 같은 숫자예요. (예: 은행 이자가 매초 계산되면 e가 등장하죠!) 지수 e^x는 e를 x번 곱한 거예요. 로그 ln(x)는 그 반대: "e를 몇 번 곱하면 x가 되나?"예요. ln(e^x) = x, e^(ln(x)) = x처럼 서로의 '역(inverse)' 관계예요. 제곱근은 사실 지수의 특별한 경우예요. √4 = 4^(1/2), 즉 4를 1/2만큼 지수한 거예요. 그런데 왜 제곱근만으로는 부족할까요? 그건 '지속적 성장'과 '변화율'을 다루기 때문이에요. e를 쓰면 이게 더 자연스럽게 설명돼요.
왼쪽은 지수함수 그래프인데, x가 커질수록 y가 폭발적으로 증가하죠? (예: e^1 ≈ 2.7, e^5 ≈ 148 – 엄청 크네요!) 오른쪽은 로그함수그래프인데, x가 10배 커져도 y는 천천히 올라가요. (ln(1) = 0, ln(e) ≈ 1) 제곱근은 직선처럼 단순하지만, 지수는 '기하급수적 성장'을, 로그는 '축소된 스케일'을 다뤄요. e를 쓰면 왜 특별할까요? e^x의 미분(변화율)은 자기 자신(e^x)이에요! 이게 연속 변화(예: 세균 증식)를 모델링하기 딱 좋죠.
왜 이 둘이 역관계일까요? 지수가 "곱하기를 반복"하면 로그는 "그 반복 횟수를 세는" 거예요. 예를 들어, 돈이 복리로 불어나는 걸 생각해 보세요. 100만 원을 연속 복리(매우 작은 단위로)로 10년 맡기면? 지수로 계산: 100 * e^(r*10), r=0.1이면 ≈ 271만 원. 로그로? "몇 년 만에 2배가 되나?" ln(2)/r ≈ 6.9년. 로그가 지수의 '역'을 해서 시간을 계산해 주는 거죠! e가 들어가니 이 계산이 더 자연스럽게 느껴지지 않나요?
이제 본론: 왜 제곱근만으로는 안 되고 지수와 로그가 필요한가?
첫째, '지속적 성장'을 다루기 때문이에요. 제곱근은 고정된 '1/2 지수(root)'지만, 지수는 어떤 지수든(예: e^2.7) 자유롭게 할 수 있어요. 실생활에서 인구 증가, 바이러스 확산, 방사능 붕괴는 지수적으로 일어나요. 코로나 팬데믹 때 "R0(기본 재생산 수)"가 e 기반 지수 성장의 핵심이었죠. 제곱근으로는 이런 '지속적 곱셈'을 못 다뤄요.
둘째, 로그는 '큰 수를 작게' 만들어 비교하기 쉽죠. 예를 들어, 소리 세기(데시벨)는 로그 스케일로 측정해요. 10배 큰 소리는 ln으로 2.3만큼만 증가해 보이죠. 파이썬으로 로그 스케일 그래프를 보죠. 이 그래프를 보면, 강도가 지수적으로 커지지만 로그 스케일로 하면 직선이 돼요. 제곱근으로는 이런 '스케일링'을 못 해요. 로그가 "큰 차이를 작게" 만들어 이해하기 쉽게 해 주죠. e 기반 ln은 특히 자연과학에서 자주 쓰여요.
셋째, 성장률에 왜 지수와 로그를 쓰나? 성장률은 '변화의 속도'예요. 예를 들어, 회사 매출이 매년 20% 증가하면 지수 모델: 매출 = 초기 * e^(0.2*년). 하지만 "언제 10배가 되나?"를 계산하려면 로그: 년 = ln(10)/0.2 ≈ 11.5년.
미분(변화율)에서도 e^x는 특별해요. 그 미분을 해도 자기 자신인 e^x이라, 생물학에서 세균 증식률, 경제학에서 GDP 성장률에 딱 맞아요! 제곱근은 이런 '연속 변화'를 못 따라가요.
물론, 제곱근도 유용해요. 피타고라스 정리처럼 거리 계산에 딱! 하지만 세상이 '곱셈과 성장'으로 가득 차 있으니 지수와 로그가 필수죠. e를 써보니 더 '자연스럽게' 느껴지지 않나요? 파이썬으로 직접 그래프를 그리다 보니, 수학이 '도구'처럼 느껴지지 않나요?
여러분도 도전해 보세요. 지수로 돈 불리기 시뮬레이션해보고, 로그로 "내 인생 성장률" 계산해 보는 거 어때요? 다음에 또 재미있는 주제로 만나요!
