조건문에 대하여
0. 조건문
"A이면 B이다." 이것이 조건문입니다.
사람이면 동물이다-
사람은 죽는다-
어렵지 않습니다.
간단히 기호로 (A → B)로 표시합니다.
사람이면 동물이다-가 참이면
동물이 아니면 사람이 아니다-도 반드시 참입니다
반대로,
식물이면 장미다-가 거짓이면
장미가 아니면 식물이 아니다-도 반드시 거짓입니다.
A 이면 B이다-를 원명제
B가 아니면 A가 아니다-를 "대우"명제라고 합니다.
둘은 참거짓여부(진리값)가 항상 같으므로 "동치"관계라고 부릅니다.
(A → B) = (-B → -A)
참고로 "이거나"는 v로, "이고"는 ^로 표시합니다.
1. 조건문의 정체는 오어문(or문, 선언문)
조건문 (A → B). "A 이면 B이다." 논리학에서 정확한 뜻은 "A가 참이고 동시에 B가 거짓인 경우는 없다."입니다.
즉, 논리식으로 -(A ^ -B)입니다.
그래서 (A → B) = (-A v B)인 것입니다.
영어로 if to or 라고 부릅니다.
결국 조건문이라는 것은 오어문을 변형시킨 것에 불과합니다.
오어문으로 시작하면 더 이해하기 쉽습니다.
(A v B). A가 "아니면" 어떻게 되겠습니까? 반드시 B겠죠?
그래서 (A v B) = (-A → B)인 겁니다.
"이거나=아니면"인 겁니다.
이걸 "실질 함축"이라고 합니다.
오어문은 사실 조건문으로 쓸 수 있다는 거죠.
or to if 이 둘은 변환이 됩니다.
그러니 논리퀴즈 지문에 A v B 가 나오면 -A → B 와 그 대우인 -B → A 까지 써주세요. 그게 출제자의 뜻입니다(익숙해지면 생략하세요).
2. 조건문의 부정은?
(A → B) 부정은 뭘까요?
(A → - B) 라고 생각하면 절대절대 안 됩니다. 둘은 아예 상관없는 조건문입니다.
(A → B) = (-A v B) 에 -를 씌워봅시다.
- (A → B) = - (-A v B) = (A ^ -B)
아시겠죠? (A → B) 부정은 (A ^ -B)입니다.
조건문 보기 판별에 사용되니 필수필수로 알고 있어야 합니다.
3. 보기에 조건문이 나왔을 때 대응 요령
1단계: A ^ -B 사례가 있나 봅시다.
(조건문 나오면 아묻따 전건에 O, 후건에 X표 하세요!!!)
반례라고 합니다. A를 가정했을 때 -B라는 사례(경우)가 나올 수 있으면 A → B 가 거짓이 되는 거죠. A 가정해 놓고 B에 부합하는 사례 구하고 있으면 당신은 망한 겁니다. A → B 라는 건 A일 때 B가 반드시!! 참이라는 겁니다. 'B인 경우가 있다'라는 말이 아니라구요. 요령 중에 1단계가 핵심입니다. 조건문이 나오면 꼭 "-B인 경우는 없나??"하고 생각합시다.
2단계: 전건이 후건을 위한 충분조건인지 봅니다.
1단계에서 판단하기 좀 껄끄러운 경우가 있습니다. 반례가 잘 안 떠오를 수 있거든요. 이럴 땐 전건을 참이라고 가정했을 때 추론을 통해! 반드시! 후건이 도출!되는지 봅시다. 예를 들어 지문에 A v B → C 나와있는데, 보기에 B → C 나와있으면 B는 충분조건이니까 보기가 참이 됩니다.
또 "보기와 같은 조건문이 지문에 있었나? 후건으로 귀결된다는 말이 지문에 있었나?" 하고 스스로 질문해봅시다. 보기의 조건문이 참이려면 결국 그 문장 자체가, 혹은 후건의 부정이 전건인 조건문이(대우), 지문에 있어야 하기 때문입니다. 네? 보기의 후건이 지문에서 전건으로 나왔다구요? 속지마세요 그 보기는 거짓입니다!!
3단계: 역이 참인지 봅시다.
역이 참이면 99% 거짓입니다. 명제가 참일 때 역은 필요충분조건이 아닌 한 반드시 거짓입니다. 그런데 출제자가 필충조건을 보기로 낼 리가 없습니다. 보기로서 가치가 없을뿐더러 필충조건을 우리가 눈치 못 챌 리 없으니까 말입니다. 실제로 제가 아는 한 수능, LEET, PSAT에서 필충조건은 보기에 조건문으로 나온 적이 한 번도 없습니다. 따라서 역이 참이라면 그 보기는 거짓입니다.
보기판단을 정말 못하겠다면 마지막으로 역이 성립하는지 보세요. 단박에 알 수 있다면 거짓인 걸 확신할 수 있습니다.
또 어째 후건이 전건을 너무 쉽게 만족시켜주는 것 같다면(?) 역이 참인지 한번 보세요. 이걸 뭐라고 표현해야 할지 적당한 어구가 생각이 안 나네요. 사람은 역이 성립하면 명제가 성립한 줄 아는 습관화된 인지적 오류를 갖고 있습니다. A ^ B인 사례를 보고 A → B를 믿게 되는 거죠.
'A이면 B인가? 오, A를 가정했을 때 B인 경우가 있네?(NO!!!) B이기만 하면 A잖아?(Please, NO!!!!!) A이면 B이네! (NO!!! GOD, NO!!!!!!!!)'
......그래서 역이 참인 보기가 시험에 함정으로 반드시 나옵니다.
ㄷ보기를 볼까요? 보편예화를 통해 쉽게 참임을 추론할 수 있는 조건문을 역으로 바꾸어 놓아 거짓으로 만들었습니다(22추리18. 논리개념매뉴얼 531p에 더 자세한 설명이 있습니다).
3단계는 2단계의 보완책입니다. 흘끗 보는 것 만으로 역이 참인 걸 알아차리면 쓰는 방법이고 역이 참인지 골똘히 고민하는데 시간 쓸 필요는 없습니다.
4단계: 대우가 참인지 봅시다.
1, 2, 3단계에서 판별을 못했으면 문장이 어렵다는 겁니다. 대우(-B → -A)로 만들어놓은 다음에 -B가 충분조건이 되나(-B를 가정하면 반드시 -A가 도출되는지) 봅시다. 여기서도 답 안 나오면 문제를 버립시다.
0단계: 'A이면 B인가?'는 사고에서 지우세요!!
저렇게 사고 하고 있을 때, 사실 우리는 A→B를 생각하고 있는게 아니에요!! 실제로는 A ^ B를 생각하고 있는 거거라구요. 당연히 A ^ B 사례가 있겠죠. 그러니 문제로 냈겠죠. 직관은 빠른 판단을 가능하게 해주지만, 실수를 동반합니다. 따라서 시험에서 우리는 저걸 아예 사고단계에서 빼버려야 합니다. 버릇이 영 고쳐지지 않으면 하다못해 'A이면 반드시! B인가?' 라고 생각해주세요.
4. 지랄 맞은 조건문 -A v -B = -(A ^ B) = A → -B
A → B 이렇게 알려주면 쉬우니까 출제자는 허들을 높입니다.
IF TO OR 를 하는 거죠.
-A v -B 이렇게요.
그런데 우리는 오어문이 조건문인걸 알죠.
"-A 가 아니면 -B"
A → -B 인 겁니다. 논리식으로 쓰기가 훨씬 편해졌죠.
-A v -B 를 문장으로 쓰면 이렇게 합니다.
"A와 B를 동시에 만족하는 사람은 없다." 자주 봤죠?
-(A ^ B) = ( -A v -B) = A → -B 사실 조건문이었던 겁니다.
언어감각으로 하면 더 쉽습니다. A와 B사이에 교집합이 없으니 A면 당연히 -B인 거죠.
그러니 지문에서 -A v -B 나 "A와 B를 동시에 만족하는 사람은 없다." 이런 문장이 나오면
꼭꼭 A → -B 로 바꿔주세요.
5. 동일률, 모순율, 배중률
논리학의 궁극적인 토대에는 동일률, 모순율, 배중률이라는 공리가 있습니다.
증명은 안되지만 언제나 참인 것으로 여기는 명제이죠.
아리스토텔레스 선생님께서 처음으로 정립하신 걸로 알고 있습니다.
내용은 이렇습니다.
동일률은 어떤 것이 A이면 A라는 것입니다.
모순율은 어떤 것이 A이면서 동시에 A가 아닐 수는 없다는 것입니다.
배중률은 어떤 것이 A든 A가 아니든 둘 중 하나에는 무조건 해당해야지 중간은 없다는 것입니다.
이걸 논리식으로 적어보면 이렇습니다.
동일률: A → A (A이면 A다)
배중률: -A v A (-A 이거나 A여야한다)
모순율: -(A ^ -A) (A이고 동시에 -A인 것은 없다.)
IF TO OR에 따라서 이 셋은 동치입니다.
(A → A) = -A v A = -(A ^ -A)
이 명제들은 언제나 참인 항진명제(T)입니다. 재밌죠.
정리하면 별거 없습니다.
IF TO OR: (A → B) = (-A v B) ★기본 BUT 별로 쓸 일은 없음.
조건문 부정: -(A → B) = A ^ -B ★★★★★보기 판별에 꼭 쓰임.
A 아니면 B : (A v B) = (-A → B) [실질함축 = OR TO IF] ★근데 A v B 형태로도 판단이 되니까 숙달되면 이미 적어 놓은 걸 꼭 변환시키진 않아도 됨. 아니면 처음부터 변환시킨 모습으로 적으면 더 좋음.
A, B 둘 다 참인 경우 없어: (-A v -B) = (A → -B) ★★★ 출제자가 난이도 높일 때 많이 씀. (-A v -B)는 가독성이 떨어져서 A v B 처럼 쉽게 판단 안됨. 꼭 변환시킬 것.
이런 내용을 갖고서 아래 문제를 한번 풀어봅시다. 23년 입법피셋 상황판단 32번입니다.
짧은 해설
B는 모순 발생해서 합격못합니다.
C도 모순 발생해서 합격못합니다.
합격하는 3명이 아니라 가능성 있는 3명을 고르는 문제입니다.
답 번호는 안 알려드립니다~
번외1. 보기가 A → B v C 라면 무조건 대우를 쓰세요.
아래는 2022경찰편입09번의 보기입니다. ㄷ을 보세요.
오어문이 후건에 나오면 판단하기가 헷갈립니다. 이때는 대우를 써서 편하게 만들어주세요.
"원자주의가 거짓이고 원자이론이 참이면, 원자2말고 다른 알갱이는 물질세계를 이루는데 참여하지 않는다." 훨씬 낫죠?
+ 전건이 복잡하고 후건이 단문이면 대우를 쓰세요
아래는 2022추리34번의 보기입니다. ㄷ을 보세요.
병이 범인일 때, 정이 범인일 때 둘 다 가정세계 구하면 시간 오래 걸립니다.
v
보기가 a ⊻ b → c 이죠. 대우를 쓰세요. (⊻는 배타적 v)
-c → ( -a ^ -b) v (a v b)
-c만 가정해서 도출하면 되니 편합니다.
갑이 범인일 때 도출되는 것이 둘 다 범인이거나, 둘다 범인이 아니라는 것이라면 보기는 참이 됩니다.
번외2. 지문에서 조건문은 왜 중요한가?
지문에 조건문이 나오면 < > 하세요. 논증에 꼭 필요한요소이고, 그 전건의 부정이나 후건이 결론이 되기 때문입니다. 마찬가지로 "그러므로, 따라서"가 나오면 →, "왜냐하면" 이 나오면 ← 한 뒤에 그 문장을 <>해주세요.
연역규칙에는 몇가지가 있습니다. 그중에 시험에 쓰이는 건 전건긍정, 후건부정, 딜레마(양도논법), 조건연쇄, 귀류법, 선언지제거, 이상 6개입니다. 선언지제거를 빼면 전부 조건문이 필수로 들어갑니다. 그리고 위에서 봤듯 선언문의 정체는 조건문입니다(or to if)
시험적 측면에서, 사실상 연역추론은 조건문을 통해서만 가능한 것이고, 그래서 지문에 조건문이 나왔다는 건 출제자가 논증을 하고 있다는 것을 보여주는 것입니다. 결국 정답을 맞추는 것은 조건문을 제대로 판단하는데 달려있습니다.
물론 모든 조건문이 문제에 쓰이는 건 아니지만, 모든 조건문에 <> 하는 걸 몇번 훈련 하다보면, 어떤게 문제에 쓰일 조건문이고 어떤게 마크하지 않아도 될 조건문인지 알 수 있게 됩니다.
그리고 법규정 문제는 모든 문장이 조건문인걸 발견하게 될 겁니다. 특히 예외 조항은 문제로 꼭 써먹겠다는 조건문 입니다. "~한 경우에 ~해야한다(-하지않는다)"는 것이 법의 본질이니까요.
6개의 연역규칙을 더 압축해 봅시다. 선언지 제거는 우리의 언어감각에도 일치하는 것이라 굳이 신경쓸 필요가 없습니다.
귀류법은 주장이 참이라고 가정했을 때 모순이 발생하면 주장이 거짓이라는, 혹은 주장을 거짓이라고 가정했을 때 모순이 발생하면 주장이 참이라는, 반대로 주장을 거짓이라고 가정했을 때 모순이 발생하지 않으면 주장이 거짓이라는 것입니다. 지문에는 위와 같은 귀류법을 설명하는 어구가 나오기 때문에 단박에 알아볼 수 있습니다.
조건연쇄는 a→b, b→c, 따라서 a→c 의 모양을 하고 있습니다. 비슷한 말이 반복되니까 바로 알아볼 수 있습니다.
남은 건 전건긍정, 후건부정, 딜레마 뿐입니다. 그런데 딜레마도 전건긍정을 이용해서 a v b 를 c v d 로 만들거나, -c ^ -d 를 써서 후건부정으로 -a^-b 를 도출하는 것입니다. 원리상 전건긍정, 후건부정과 다를게 없습니다.
a → b, a // 따라서 b (전건긍정)
a → b, -b // 따라서 a (후건부정)
결론적으로 우리가 촉각을 곤두세울 건 조건문을 발견하는 것입니다. 그 뒤엔 후건의 부정이나 전건을 찾으면 됩니다. 그러면 소결론이 나올 것이고 그게 문제가 될 겁니다.
전건긍정은 너무 당연하지만, 후건부정은 놓치기 쉽습니다. 그래서 출제자는 후건부정을 더 자주 쓰니 꼭 기억하시길 바랍니다.
번외3. 보기에 단문이 나왔다면
보기에 조건문이 나왔다면(a→b) 부정이 가능한지부터 생각하라고 말씀드렸습니다(a ^ -b). 그럼 단문일 때는 어떨까요? 마찬가지입니다. "혹시 부정 사례는 없나?"(-b가능한가?)부터 떠올리셔야 합니다. 지문이 전건이고 보기가 후건인 겁니다.
그 후에 반례찾는게 더 번거롭겠다는 직감이 들면 지문에서 보기를 타당하게 추론할 수 있는지 봐야합니다.
보기를 참이라고 가정하고서 그게 성립하는 사례를 찾고있으면... 시간은 시간대로 날리고 사실은 찍고 있는겁니다.
