정보 에너지 시뮬레이션 설계
11편에서 우리는 자리올림 피라미드의 네 가지 보정선을 제시했다.
덧셈 구조에서 확률 구조로의 논리적 다리
에너지 없는 상전이를 보완하는 정보 에너지 정의
미시–거시 스케일 정규화
실증 가능한 시뮬레이션 설계
이번 편은 이 네 번째 보정선, 즉 자리올림 피라미드를 실제로 시뮬레이션 가능한 ‘정보 에너지 모델’로 구현하는 과정이다.
이제 이론을 넘어 수치와 그래프의 세계로 들어가 보자.
자리올림 피라미드에서 엔트로피의 변화량은
한 층(n)에서 다음 층(n+1)으로 넘어갈 때 발생하는
자리올림의 불확실성 차이로 측정할 수 있다.
이를 샤논 엔트로피로 표현하면 다음과 같다.
H(n) = -Σ p_i(n) · log2(p_i(n)) ΔS = H(n+1) - H(n)
이 변화량을 물리적 에너지에 대응시키기 위해
우리는 정보적 볼츠만 상수(k_info) 를 도입한다.
E_info = k_info · ΔS
여기서
k_info = k_B · ln(2)
이며, 이는 “비트 단위의 엔트로피를 물리 단위(J/K)로 환산”하는 변환자다.
즉, 자리올림의 불확실성 변화가 곧 정보 에너지의 발생으로 읽힌다.
이제 세 가지 핵심 변수의 관계를 살펴보자.
λ(n): 자리올림의 발생 빈도
χ(n): 민감도 (dλ/dn)
E_info: 정보 에너지 변화량
자리올림이 활발히 일어나는 구간에서는
λ(n)이 급격히 상승하고,
이때의 민감도 χ(n)도 최대치를 찍는다.
따라서 정보 에너지의 순간적 크기는
이 두 요인의 곱으로 근사할 수 있다.
E_info(n) ≈ α · λ(n) · χ(n)
여기서 α는 스케일 정규화 계수로,
자리올림의 단위 깊이를 물리적 스케일로 변환한다.
이제 이를 수치적으로 모델링하기 위한 기본 알고리즘은 다음과 같다.
Input : n_max (피라미드 최대 깊이) For n in range(1, n_max):
1. 각 층의 자리올림 확률 p_i(n) 계산
2. λ(n) = mean(p_i(n)) # 평균 자리올림률
3. χ(n) = dλ/dn # 민감도
4. H(n) = -Σ p_i(n)·log2(p_i(n))
5. ΔS = H(n+1) - H(n)
6. E_info(n) = k_info · ΔS Output: λ(n), χ(n), E_info(n)
이를 시각화하면 세 가지 곡선이 나타난다.
λ(n): S자 형태의 포화 곡선
χ(n): 중앙부에서 피크를 갖는 임계 반응
E_info(n): χ(n)의 피크와 정확히 겹치는 정보 에너지 폭발 구간
이 세 곡선이 일치하는 구간이 바로
자리올림 피라미드의 정보 상전이 임계점(n_c) 이다.
11편에서 제시했던 MOND 대응을 이제 적용해보자.
자리올림 깊이 n을 물리적 스케일로 변환하기 위해
다음과 같은 관계를 둔다.
a_eff = α · n E_info(a) = k_info · ΔS(a/α)
이 변환을 통해,
자리올림 피라미드의 미시적 정보 에너지가
거시적 물리계(가속도 스케일)와 직접적으로 연결된다.
즉, 정보 상전이 = 물리 상전이의 형태학적 유비라는 명제가
수식 수준에서 완결된다.
시뮬레이션을 통해 다음 네 가지 항목을 검증할 수 있다.
λ(n), χ(n), E_info의 임계 동조성
ΔS와 Λ(n)의 상관계수
n_c 부근에서의 정보 플럭추에이션
임계 이후의 정보 포화 안정화 영역
이를 통해 자리올림 피라미드는
“무질서로부터 질서가 생성되는 정보적 상전이 모델”로
실험적으로 입증될 수 있다.
자리올림 피라미드는 이제 단순한 수학 구조를 넘어
정보 에너지의 흐름을 시뮬레이션할 수 있는 시스템으로 발전한다.
우리는 덧셈에서 출발해 확률로,
확률에서 엔트로피로,
그리고 엔트로피에서 에너지로 이동해왔다.
다음 편(13편)에서는
이 E_info 모델을 시간축으로 확장해
“시간–정보–질서의 위상 방정식”으로 전환할 것이다.
즉, 정보 에너지가 시간의 흐름 속에서
어떻게 질서를 생성하고 소멸시키는지를
H(t) 모델과 결합해 다룰 예정이다.