기초 확률론: 순열·조합
귀납 논리 #5
통계적 삼단 논증을 제대로 평가하려면 확률에 대한 기본적인 지식이 필요합니다.
논증이 친절하게도
빨간 공 5개와 파란 공 3개가 든 주머니에서 임의로 꺼낸 공 3개가 모두 파란 공일 확률은 약 2%다
∴ 빨간 공 5개와 파란 공 3개가 든 주머니에서 임의로 꺼낸 공 3개가 모두 파란 공은 아닐 것이다
이렇게 특정 사건의 발생 확률은 정확하게 제시해준다면 논증의 옳고 그름을 판단하는 일은 어렵지 않을 겁니다. 어떤 사건이든 발생 확률이 2%라면 발생하지 않는다고 보는 게 대개의 경우엔 맞겠죠? 그러니 위 논증은 올바른 편이에요.
임의로 뽑은 공 3개가 모두 파란 공일 확률은?하지만 위 논증이 건전한 것인지, 그러니까 올바른 동시에 전제가 참이기도 한지 판단할 수 있을까요? 빨간 공 5개와 파란 공 3개가 든 주머니 A에서 공 3개를 임의로 꺼내면 둘 다 파란 공일 확률은 정말로 2% 정도일까요? 그걸 알기 위해서 확률에 대한 이해가 필요한 거죠.
정확히 말하면 A주머니에서 아무렇게나 꺼낸 공 3개가 모두 파란 공일 확률은 1/56입니다. 이 말은 주머니 A에서 공 3개를 꺼내는 방법이 모두 56가지인데, 그중에서 파란 공만 쏙쏙 3개를 짚어내는 방법은 1가지 밖에 없다는 걸 의미해요.
어떤 사건 E가 발생할 확률 Pr(E)는 그 사건이 일어나는 경우의 수를 모든 가능한 경우의 수로 나누어서 구하거든요.
자, 이제 고등학교 1학년 수학 시간으로 돌아가야겠습니다.
순열
순열permutation은 여러 값을 추출한 뒤에 순서대로 배치한 걸 의미합니다. 가령 주머니 B에 빨간 공과 파란 공, 노란 공, 초록색 공이 각각 1개씩 들어있다고 해보죠.
여기서 공 4개를 뽑아 순서대로 배치하는 방법은 몇 가지일까요? 24가지입니다. 일단 첫 번째 공은 네 가지 색깔 중 어느 것이나 될 수 있습니다. 그다음에 따라올 두 번째 공은 남은 세 가지 색깔 중 어느 것이나 될 수 있고요. 세 번째 공은 남은 두 가지 색깔 중 어느 하나가 될 수 있겠죠. 물론 마지막 네 번째 공은 남은 단 하나의 공이 되어야 하겠죠. 그래서 4 x 3 x 2 x 1 = 24가지 경우가 나오는 겁니다.
이런 순열을 간단하게 표현할 때 기호 P를 사용합니다. 총 n개의 값 중 m개의 값을 추출한 후 순서대로 배치하는 방법의 수는 nPm으로 나타내죠. nPm은 n!/(n-m)!입니다. 주머니 B의 경우엔 4개의 값 중 4개를 꺼내어 배치하는 것이니까 4!/(4-4)! = 4!/0! = 24/1 = 24가 되죠. (0!은 1입니다.)
가령 주머니 B에서 공 2개를 꺼내어 만들 수 있는 순열은 4!/(4-2)! = 4!/2! = 24/2 = 12개가 됩니다.
동일한 색깔 공이 2개 이상 포함된 주머니 C그렇다면 빨간 공 3개와 파란 공 1개, 노란 공 1개, 초록색 공 1개가 든 주머니 C에서 공 6개를 뽑아 만들어 낼 수 있는 순열은 몇 개일까요? 6!/(6-6)! = 6!/0! = 120/1 = 120개가 맞을까요?
그렇지 않습니다. 왜냐하면 C 주머니에는 서로 구분할 수 없는 똑같은 공들이 들어 있기 때문이에요.
120가지 순열 중에서는 아래와 같은 순열이 포함되어 있을 겁니다.
편의상 숫자 표기를 했지만 실제로는 구분이 불가능한 동일한 공이므로 결국 같은 순열!그런데 사실 이 순열들은 결국 같은 순열이에요. 왜냐하면 빨간 공은 완전히 동일하니까요. 이렇게 동일한 값을 둘 이상 포함한 순열을 동자 순열 permutation of multiset이라 부르는데요. 이 6개 동자 순열은 실상 1개로 취급해야 하죠.
만약 동일한 값들이 동일하지 않았다면? 그러니까 빨간 공에 번호가 쓰여 있어서 서로 구분할 수가 있었다면? 이 빨간 공들로 만들 수 있는 순열은 총 3!/(3-3)! = 3!/0! = 6/1= 6개가 되겠죠? 3개 중 3개를 뽑아 만드는 순열이니까요. 그런데 이 6개는 사실상 같은 순열이죠? 그래서 우리는 최초에 구한 120개를 6개로 나누어주어야 해요.
따라서 주머니 C에서 공 6개를 뽑아다 만들 수 있는 순열은 총 120/6 = 20개가 됩니다.
조합
조합combination은 여러 값을 추출한 구성한 묶음을 의미해요. 순열과 달리 순서는 중요하지 않습니다. 그래서 아래 6가지 경우는 모두 다른 순열이지만, 같은 조합이에요.
각기 다른 순열이지만 모두 같은 조합!주머니 B에서 공을 3개 뽑아서 만들 수 있는 순열은 24개입니다. 4!/(4-3)! = 4!/1! = 24/1 = 24니까요.
그런데 그렇게 일단 뽑은 공 3개를 가지고 만들 수 있는 순열은 6가지예요. 3!/(3-3!) = 3!/0! = 6/1 = 6죠? 이 6가지 경우는 사실 동일한 조합입니다. 그래서 주머니 B에서 공을 3개 뽑아 만들 수 있는 조합은 24를 6으로 나눈 값, 4가 돼요.
조합을 나타낼 땐 기호 C를 활용합니다. nCm는 총 n개의 값 중 m개를 추출하여 만든 조합의 개수를 의미하고요. 계산할 땐 n!/(m!x(n-m)!)으로 나타내요. 그러니 주머니 B에서 공 3개를 꺼내어 만들 수 있는 조합은 4!/(3!x(4-3)!) = 4!/(3!x1!) = 24/(6x1) = 4가지가 되죠.
로또 당첨 번호가 바로 조합에 해당해요. 로또에 당첨되기 위해서는 추첨 기계에서 나올 6개 숫자를 정확하게 맞춰야 하지만, 그 순서까지 맞을 필요는 없습니다. 가령 1, 2, 3, 4, 5, 6을 찍었다면? 추첨 기계에서 공이 1, 2, 3, 4, 5, 6 순서대로 나오든 4, 1, 2, 6, 5, 3 순서대로 나오든 상관이 없죠. 그래서 로또로 만들어 낼 수 있는 조합의 수는 45개 값에서 6개를 추출하여 만드는 조합의 수죠. 45!/(6!x(45-6)!)가 되는 겁니다. 총 8,145,060가지 경우가 가능하네요.
다시 주머니 A로 돌아옵시다. 이 주머니에서 공 3개를 꺼냈더니 하필이면 모두 파란색일 확률은 어떻게 구할까요? 일단 주머니 A에 파란 공이 3개 있으니 파란 공 3개를 꺼내는 방식은 1가지 밖에 없습니다. 그냥 집어낸 공이 모두 파란 색인 경우죠.
그렇다면 주머니 A로부터 공 3개를 뽑아내어 나타낼 수 있는 방식은 모두 몇 가지일까요? 일단 여기서는 순열이 중요하지 않습니다. 왜냐하면 주머니에서 나온 공의 색깔과 함께 그 공이 몇 번째로 나온 것인지까지 따지는 상황이 아니기 때문이죠. 공 3개를 동시에 꺼내는 상황입니다. 이렇게 나온 공 3개에겐 순서가 없어요. 쌍둥이 같은 거죠. 형이나 동생이 없습니다. 그래서 조합을 사용합니다.
총 8개 값에서 3개를 꺼내어 만드는 조합의 수는? 8!/(3!x(8-3)!) = 8!/(3!x5!) = 40,320/(6x120) = 40,320/720 = 56개군요.
따라서 주머니 A로부터 공 3개를 뽑았더니 하필 모두 파란 공인 경우는 모든 가능한 경우 56가지 중 1가지에 불과하므로, 그 확률이 1/56이라고 결론 내릴 수 있는 겁니다. 백분율로 나타내면 2%가 조금 못 되네요.
이렇게 우리는
빨간 공 5개와 파란 공 3개가 든 주머니에서 임의로 꺼낸 공 3개가 모두 파란 공일 확률은 약 2%다
∴ 빨간 공 5개와 파란 공 3개가 든 주머니에서 임의로 꺼낸 공 3개가 모두 파란 공은 아닐 것이다
이 논증이 올바를 뿐만 아니라 (전제가 참이기 때문에) 건전하기까지 한 훌륭한 논증이라는 걸 판단할 수 있습니다.
저기서 꺼낸 공 3개 전부가 파란 공이라는 데에 내 돈 전부와 손 모가지를 걸면 안 되겠죠?