함수가 가지고 있는 공통의 특성

함수는 여러 가지 종류가 있습니다.

이번에 이야기할 내용은 함수가 가지고 있는 공통의 특성들에 대해서 이야기하려고 합니다.

그래서 각각의 함수의 수학적인 공식이나 수학적인 특성에 대해서는 접어두려고 합니다.

함수를 간단하게 다시 정리를 해보면 어떠한 입력값에 대해서 나오는 결과가 정해져 있습니다. 그래서 함수는 예측이 가능합니다. 이 부분이 핵심이라고 볼 수 있습니다.

그래서 상수 함수든 일차함수든 삼각함수든 지수로그함수든 모두 입력되는 값(정의역)에 의해 나오는 값(치역)이 각각의 수식의 연산에 의해 결정됩니다.

그럼 차이점은 무엇 일가요? 

차이는 함수의 수식이 다르고 수식을 시각적으로 표현했을 때 보이는 그래프의 모형이 다르다는 것입니다.

함수를 쉽게 접근하기 위해서는 어떠한 함수던지 동일한 로직을 가지고 있고 이 부분을 정확하게 이해를 한다면 문과 출신도 공학에서 사용하는 복잡한 함수의 연산이라던지 응용은 할 수 없겠지만 함수의 구조나 표현되는 수식의 의미는 파악할 수 있을 것이라고 생각합니다.

여러 가지 함수를 통칭하여 그래프라고 하겠습니다.

그래프를 그리는 형태의 수식을 크게 3가지로 나누겠습니다. 표준형, 일반형, 이동형으로 나누어 표현하겠습니다.

이차함수를 예를 들면

여기서도 볼 수 있듯이 일반형과 이동형은 사실 차이는 없습니다. 단지 표현만 다를 뿐입니다.

|그래프는 어떻게 그리는가?

그래프를 그리는 방법의 가장 원초적인 방법을 이야기하면 점들의 연결입니다.

그럼 점은 함수의 수식에 의한 연산에 의해서 결정됩니다.

중학교 때 함수를 처음 배우면 그때 대응표라는 것을 배웁니다. 대응표는 x, y의 값을 표에 그래프가 그려질 점을 정리하는 방법입니다.

우리가 알고 있는 모든 함수는 대응표에 의해서 그래프를 그릴 수 있습니다. 단지 얼마나 복잡하냐 얼마나 촘촘하게 값을 찾아야 하느냐의 차이가 있을 수 있습니다.

일차함수는 몇 개의 값만 이용하면 아래와 같이 그래프를 그릴 수 있습니다.

로그 그래프를 보면

위와 그래프가 그려집니다. 

로그 그래프는 정수부분만 가지고는 위의 그래프를 찾을 수 없습니다.

1보다 큰 부분은 정수 부분으로 가능하지만 1보다 작은 부분은 분수의 값을 가지고 대응표를 만들어야 합니다.

그래서 함수의 종류에 따라서 대응표를 그리는 값의 차이가 생기고 그래프의 형태를 알 수 있을 때까지 점을 찾아야 합니다.

정리를 하면 모든 그래프는 x값에 따른 y값의 점들로 이루어져 있습니다. 그래서 그래프의 개형을 파악할 수 있을 때까지 점을 찾으면 그래프를 알 수 있게 됩니다.

여기서 문제점은 그래프의 모형을 알고 있지 못하면 시간이 오래 걸린다는 문제점이 있습니다.

이 부분을 이해하시면 앞으로 어떠한 그래프가 나오던 당황하지 않고 그래프를 그릴 수 있습니다. 

|그래프를 빠르게 그릴 수 있는 방법은?

만약에 그래프의 개형을 알고 있다면 그래프를 조금은 효과적으로 빠르게 그릴 수 있습니다. 대신 그래프의 특장점이 될 수 있는 부분을 구해야 합니다.

이 부분을 이야기하기 위해서는 여러 가지 수학적인 내용을 이야기해야 합니다. 만약에 이해를 못하더라도 상관은 없습니다. 왜냐하면 위에서 이야기한 대응표를 이용해서 그래프를 그리면 되기 때문입니다.

그래프의 특징적인 부분의 용어를 이야기하면 x절편, y절편, 극값, 변곡점 등을 알고 있어야 합니다.

그래프를 파악을 할 때 사용하는 수학적인 내용은 미분입니다. 미분을 통하여 그래프의 증감 정도를 계산하여 그래프를 파악할 수 있습니다.

먼저, x, y절편은 말 그대로 x축과 y축의 위의 점을 이야기합니다. 그래서 구하는 방법은 x절편은 y의 값이 0일 때 x의 값이고 y절편은 x의 값이 0일 때 y의 값입니다.

극값은 극솟값과 극댓값이 있습니다. 극값에 대해서 깊이 들어가기보다는 그래프를 위한 부분을 판단한다면 기울기가 0이 되는 y값을 갖는 지점입니다.

기울기가 0이 된다는 말은 함수의 미분값이 0이 되는 것입니다. 

만약에 미분을 잘 모른다고 한다면 굳이 깊이 들어가 필요는 없습니다. 그냥 기울기가 0이 되는 지점이 어떻게 될까에 대해서만 찾아주면 됩니다.

당연하게 정확한 그래프를 알고 싶다면 미분을 이용하여 정확한 값을 구해야 하지만 개략적인 그래프를 알고 싶다면 미분을 몰라도 그래프를 판단할 수 있습니다.

변곡점은 이계도함수에 대한 부분인데 이 부분은 미분에 대해서 다룰 때 자세하게 이야기하고 지금은 기울기의 증감이 변하는 지점 정도만 이야기하고 넘어가겠습니다.

그림에서 볼 수 있듯 3차 함수를 그린다고 가정할 때 위처럼 그림을 그릴 수 있습니다.

 x절편, y절편, 극대, 극소를 찾아서 3차 함수의 그래프 개형을 이용하여 그래프를 그리면 됩니다.

|그래프의 공통의 특성들

앞에서 그래프를 그리는 부분에 대해서 이야기했습니다. 그럼 과연 그래프들은 어떤 공통적인 특정을 가지고 있을까요?

첫번째는 그래프를 대응표를 이용하면 어떠한 그래프던 그래프를 그릴 수 있습니다.

기본적인 방적식의 연산만 할 수 있다면 어떤 함수든지 x와 y의 값을 찾아낼 수 있습니다. 그러면 좌표에 점을 표현하여 점들을 이으면 원하는 함수를 그릴 수 있습니다.

두 번째는 모든 그래프는 기본형의 그래프에서 x축으로 이동하고 y 축으로 이동하는 원리는 동일합니다.

모든 함수의 계수들은 그래프의 모양과 형태, 위치를 결정합니다. 그리고 함수의 기본 원리를 이해하는 방법 중 하나는 함수의 계수들이 변함에 따른 그래프의 모양과 위치를 변화를 파악해 나가면 함수의 원리를 익힐 수 있는 방법이라고 생각합니다.

다음 글에서 이 부분을 정리한 표를 올려보도록 하겠습니다.