AI시대를 위한 기초 수학 5
허수(imaginary number) 2
왼쪽의 그림과 같이 복소평면에 반지름이 1인 원이 있다.
1 X -1 = -1
실수에서 마이너스(-)의 의미는 180도를 이동한 것이다.
그렇다면 1에 i를 곱하면 무슨 뜻이 될까?
1 X i = i
즉, 1에서 90도 이동한 것이 된다.
1 X i X i = -1
1에 i를 두 번 곱하면 180도 이동한 것이고,
1 X i X i X i = -i
1에 i를 세 번 곱하면 270도 이동한 것이다.
1에 i를 네 번 곱하면 360도 이동해서 원래 자리로 돌아온다.
그렇다면 1에서 원둘레를 따라 이동한 거리는 어떻게 계산할 수 있을까?
여기서 우리에게 익숙한 무리수 중의 하나인 오일러 상수 e가 등장한다.
1을 시작으로 원을 따라 이동한 거리를 x라고 한다면, 거리 x는 e에 i 제곱한 것으로 계산할 수 있다.
그렇다면 -1까지 이동한 거리는 어떻게 표현할 수 있을까?
반지름이 1이니까 -1까지 이동한 거리는 π가 된다. 따라서 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기에 + 1을 하면 0이 되며, 세상에서 가장 아름다운 공식을 이해할 수 있다.
우리에게 익숙한 두 개의 허수(e, π), 그리고 허수, 거리에 실수인 1...
이 세 가지 조합으로 완성된 위의 식을 확인할 때까지 정말 많은 수학자들의 고민과 노력이 있었음을 느낄 수가 있었다. 그래서 세상에서 가장 아름다운 공식이라고 한 것이 아닐까 싶었다.
허수를 활용하면 파장을 원으로 표현할 수 있다. sin, cos등과 같은 삼각함수를 활용하는 것보다 좀 더 쉽게 파장을 해석할 수 있다.
상하로 움직이는 파장을 진폭을 반지름으로 할 수 있는 원으로 생각할 수 있다.
파장은 i를 4번 제곱하는 것과 동일한 개념이 된다.
그러면 고유 주파수를 가진 파장을 원으로 변환해서 진폭의 변화 등을 감지하여 설비의 이상 유무를 확인할 수 있는 바탕을 마련해 준다.
이렇듯 허수는 인공지능(AI)의 시대에서 아주 중요한 역할을 하고 있다.
자연수에서 출발해서 허수까지 정리를 마무리했다.
단순 암기가 아닌 의미 하나하나를 이해하기 위한 여정이었고, 이를 통해서 수의 세계를 느껴볼 수 있는 소중한 기회였다.
수를 마무리했으니, 다음은 선형대수를 정리해야겠다.
