7. 올림피아드 수학의 지름길 중급 하 공부하기
0. 책 정보
올림피아드 수학의 지름길 시리즈 중의 중급 하편.
중급 상 편과 함께 십년도 넘게 대표적인 경시 입문서로 활용되고 있다.
십년 전에 이 책은 정말 혁신적인 책으로, 어떻게 이런 책이 10년 전에 출판될 수 있었을까 싶을 정도로
다양한 유형들이 담겨있다.
사실 현재는 너무 좋은 책들과 자료들이 많기 때문에 그 중요성이 떨어졌지만,
독학하는 학생들에겐 여전히 필독서 중 하나.
1. 공부하기 위한 필수 선행 과정
고등 수학 상, 하 (1학년 1학기, 2학기 과정)은 꼭 공부해야 함.
시리즈 책인 만큼 올수지 상은 꼭 보고 넘어올 것.
올수지 상, 하에 있는 기하를 합치면 거의 평기아에 있는 내용과 비슷해짐
평기아를 먼저 보고 올수지를 보면 기하파트는 좀 쉬울거고,
반대로 올수지를 다 보고나면 평기아가 좀 쉽게 느껴질것임.
2. 간단한 소개
사실 현재는 좋은 자료들이 많아서 가르치는데 쓰지 않았는데, 이번 리뷰를 통해 자세히 살펴보면서
감탄했다.
문제푸는 테크닉들이 정말 많이 담겨있는 책이다. 특히 대수적인 테크닉들이 정말 많이 있어서,
올수지 하를 마스터 했다면, 웬만한 대수문제들은 다 풀 수 있을 정도이다.
대수적인 내용이 60%이상, 기하, 정수, 조합은 상대적으로 비중이 작다.
대신 기하, 정수, 조합은 필수적인 굉장히 중요한 내용들만 담고 있기 때문에 꼭 알아야 한다.
학생 시절 이 책을 공부할 때 굉장히 어렵게 느껴졌던 기억이 있다.
올수지 상은 그렇게 어려운 느낌이 아니라면, 올수지 하는 워낙 복잡한 수식들을 다루고 있고,
테크닉들을 가르쳐준다의 느낌 보다는 보여준다의 느낌이 강하다.
이 책을 통해서 테크닉들을 배울 수 있다기 보다는 경험할 수 있다고 표현하는게 더 맞는 것 같다.
즉, 독학하는 학생이 이 책을 보고 머리속에 다 집어 넣기는 정말 어려운 책이다.
즉, 좋은 내용이 정말 많지만 독학하기에 좋은 책이라고는 하지 못할 책이다.
3. 공부하는 방법
대수가 대부분이므로 대수 위주로 설명하자면, 스스로 알아내기 힘든 테크닉들이 많다.
이전에 배운걸 응용해서, 아이디어를 만들어 내기보다는 그냥 테크닉들을 배우는 느낌으로 공부하는게 나아보인다.
앞에서 설명한 것 처럼, 너무 많은 테크닉들을 다루고 있으며, 테크닉 당 문제수가 적어서,
대충 공부하고 넘어가서는 머리속에 남는게 없다.
특히 책이 정리가 잘 안되어 있는 느낌이라, 스스로 노트정리를 해서
어떤 상황에서 어떤 테크닉들이 사용되는지 본인만의 정리가 필요하다.
그렇게 정리해놓으면 분명 앞으로 문제풀이에서 다시 보게 된다.
기하, 정수, 조합은 KMO, 영재고 문제 모두에 나올 수 있는 내용들로 버릴게 없다.
좋은 테크닉들이 많으니, 각 소단원에서 초반부 문제들은 어느정도 답을 보고 공부했다면
소단원 후반부 문제들은 고민을 좀 많이 해보는걸 추천.
4. 단원별 소개
대수 파트
38. 함수와 그 그래프
다양한 함수 및 그에 관한 방정식들을 그래프를 그려서 이해하고 풀어내는 테크닉들을 설명한다.
식을 이해할 때 그래프를 머리속에 그릴 수 있으면 훨씬 쉽게 풀리는 문제가 많다.
정석에서 배운 문제들에서 가장 어려운 문제들 수준 또는 그 보다 더 어려운 수준의 문제들
39. 대수부등식의 증명 및 응용
산술-기하, 코시 부등식 같은 이론이 아닌 다른 테크닉들 위주의 문제가 많다.
부등식을 다양한 방법으로 해석해서 풀어내는 방법들을 배울 수 있다.
40. 사인법칙과 코사인 법칙 및 그 응용
사인 법칙, 코사인 법칙은 기하 파트 문제들을 수식적으로 접근 할 수 있는 테크닉이다.
넓이와, 변의 길이를 알아 내는데 굉장히 유용한 법칙이다.
대수와 기하를 연결시켜서 방정식과 부등식을 풀어내는 문제 역시 굉장히 재밌는 유형들이다.
41. 일원이차방정식의 근과 계수와의 관계 및 그 판별식의 응용
기본은 근과 계수와의 관계와, 판별식인데 식들이 복잡하거나 특이한 경우가 많다.
판별식에 대한 깊은 이해를 할 수 있는 단원.
42. 일원이차방정식의 근의 분포에 대한 문제
근의 부호, 크기 등등 근에 대한 정보를 알아내는 유형들이다.
43. 대수 응용 문제와 특수한 연립 방정식
다양한 연립방정식들을 다루는데, 문제들이 길어서 공부하기 귀찮은 단원.
여기 나오는 유형들 역시 필수적인 유형이지만,
글이 긴 유형들은 사실 KMO에서 볼 유형들은 아니다.
그 외에 수식으로 된 연립방정식들은 매우 중요.
54. 고차부정방정식의 흔히 보는 해법
해가 하나로 정해지지 않는 부정방정식을 푸는 테크닉들을 다룬다.
부정방정식을 푸는 테크닉들 역시 매우 중요하다.
해가 딱 구해지는 것이 아니기 때문에 테크닉을 통해서 해가 될 수 있는 숫자들만
남기는 테크닉들을 배우게 된다.
56. 음이 아닌 수의 응용
음이 아닌 범위의 식들을 이용하는 테크닉들이다.
완전제곱식, 절댓값등을 포함한다.
완전제곱식을 만드는 방법들이 특히 많이 나오는데, 이걸 통해서
미지수의 개수가 식보다 많은 부정방정식도 유일한 해를 구할 수 있다.
57.정수를 취하는 함수 및 응용
가우스 기호가 나오는 방정식 문제들이다.
이 단원만 제대로 공부하면, 가우스 기호나오는 문제는 거의 다 다룰 수 있다.
58. 간단한 극값 문제
극 값이라는건, 최대, 최소를 의미한다. 식의 최대, 최소를 구하는 테크닉들을 배운다.
기하파트
44. 메넬라우스 정리, 체바의 정리 및 응용
기하에서 가장 중요한 메넬라우스, 체바의 정리 단원.
평기아랑 겹친다.
45. 톨레미의 정리, 심슨의 정리 및 응용
KMO 기하에서 사용되는 톨레미의 정리와 , 심슨정리를 다루고 있다.
46. 기하에서의 평행이동과 회전이동
평기아에 있는 변환 문제들이랑 겹친다.
평기아 보다 나은점은 그래도 왜 이런 테크닉들을 쓰는지 이유가 간단하게나마 언급된다.
(평기아는 보조선 긋는게 거의 마술 부리는 느낌)
47. 평면도형에서의 일정한 값에 대한 문제
역시 평기아랑 겹치는, 평면도형에서 어떤 값이 일정함을 보이는 문제 유형들.
어렵지 않다.
48. 기하부등식
기하 부등식은 잘 알아두면 영재고 입시나, KMO 2차에서 분명 실력 발휘할일이 있을 것이다.
49. 평면도형의 덮어씌우기 기초 지식
그나마 덜 중요한 단원.
정수파트
50. 정수값을 가진 다항식
정수와 대수를 섞었지만 정수적인 테크닉들이 많다.
난이도는 상대적으로 쉬운 편.
51. 자연수의 양의 정수차 거듭제곱과 완전제곱수의 끝자리 숫자
제일 기본적인 정수 유형들로, 쉬운 편.
52. 수의 합동에 관한 기초 지식
정수론에서 가장 핵심이 되는 합동식을 배우는 단원이다.
꼼꼼하게 공부하자.
55. 홀수 짝수의 성질로의 분석
홀짝 성질을 이용해서 여러가지 문제들을 풀어내는 단원
조합파트
53. 서랍원칙(2)
조합 테크닉 중 대표적인 서랍원칙에 관한 조금 더 깊은 문제들을 다룸.
서랍원칙 테크닉은 굉장히 중요하니 제대로 공부할 것
59. 간단한 염색 문제
염색 테크닉 역시 굉장히 중요한 조합 테크닉이다. 꼭 알아두자.
60. 존재성 문제
존재성에 관한 다양한 유형의 문제들이 있다. 이건 뭐라고 설명하기가 어렵다.
조합적인 느낌이 강한 단원
61. 순서 배열 문제
순서를 배엻하는 문제들인데 역시 설명하기 어렵다;
62. 간단한 논리 문제와 대책
63. 열거법에 대한 간단한 소개
64. 극단적인 경우로부터 착수하여 문제를 풀기
65. 귀납과 추측
66. 구조법에 대한 간단한 소개
62~66은 수학 문제를 풀어내는 기본적인 논리를 다룬다고 생각하면 된다.
전부다 중요함.
67. 기수법
이진법, 삼진법 같은 기수법을 이용해서 문제를 푸는 방법을 알려준다.
기수법으로 풀 수 있는 특이한 유형들이 많이 나온다.
영재고 유형에도 사용될 가능성이 높은 문제들이니 꼭 알아두자.
68. 경시 문제의 유형과 그 해법
이 때 까지 다 경시문제 였는데, 경시 문제를 이제서야 알려주는 척 하는 단원.
그냥 이전 단원들에 분류 안되는 문제들을 뽑아 놓은 단원이다.
올수지 상에는 불필요 한 단원들이 꽤 있었는데, 올수지 하에는 거듭 얘기하지만 빼먹을 단원이 없다.
다 정말 중요한데, 너무 많은 테크닉들이 나오고, 잘 정리되어 있지 않기 때문에 독학 하는 입장에서는
문제의 풀이를 이해하는 것도 중요한데 그걸 자기 나름대로 정리해서 분류하는게 굉장히 중요하다.
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