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by 유정 Feb 24. 2022

Theme2. 일차원 운동(직선 운동)

Concept2-1. 운동의 표현(2)

우리는 3차원 공간과 한 방향으로 흐르는 시간을 인지하며 살아갑니다. 우리는 자연 현상이 흐르는 시간에 따라 변화하는 것을 매일 관찰합니다. 낮과 밤이 변하고 계절이 변하고 사람이 늙어가고 개학이 다가오고 시간에 따라 많은 것이 변화합니다. 그 변화를 한눈에 잘 보기 위해 사용하는 도구가 그래프입니다.

오늘은 물체의 운동을 나타낸 그래프에 대해 알아보겠습니다. 그래프를 보고 물체의 운동을 상상해 내는 연습을 해서 익숙해지면 역학이 쉬워집니다.

▲ 지난 코로나 초기 대구의 확진자 추이 그래프입니다. 변화량을 한눈에 볼 수 있죠.

등속도 운동과 그래프

아래 그림처럼 거북이가 기어가고 있습니다. 이렇게 한 방향으로 일정한 운동을 등속도 운동이라 합니다.

거북이의 등속도 운동을 두 가지 그래프로 그려보겠습니다.

첫 번째는 위치-시간 그래프입니다. 앞으로는 s-t그래프라고 부르겠습니다.

시간이 흐르면서 거북이의 위치는 일정하게 증가하므로 우상향 하는 직선을 그리게 됩니다.

거북이가 더 빨리 기어가서 똑같은 시간 동안 더 많이 움직인다면 그래프의 경사가 더 급해지겠죠.

따라서 s-t그래프에서 기울기는 속력(속도)을 의미합니다.

두 번째는 속도-시간 그래프입니다. 앞으로는 v-t그래프라고 부르겠습니다.

거북이는 일정한 속도로 기어가므로 속도 값이 일정합니다. 시간 t 축과 평행한 그래프를 그리게 되겠죠.

10초 동안 20m 기어간 거북이의 속도는 2m/s로 일정합니다. 이 그래프 아래의 면적을 주목해 주세요. 1초 동안 그래프 아래의 직사각형 면적은 2, 2초 동안은 4, 10초 동안은 20이 됩니다. 이 직사각형의 면적은 속도 값과 시간을 곱한 것이므로 변위와 같습니다.

따라서 v-t 그래프 아래의 면적은 변위를 의미합니다.

▲ 등속도 운동, 위치-시간(s-t) 그래프, 속도-시간(v-t) 그래프

① 등속도 운동 : 속도가 일정한 운동 = 속력과 방향이 일정한 직선 운동
② s-t그래프의 기울기 = 속도
③ v-t그래프의 면적 = 변위
※ 그래프의 모습을 보고 실제 운동을 상상할 수 있어야 함.

가상실험 출처 : https://javalab.org/constant_velocity/

순간속도와 평균속도

아래는 거북이의 두 가지 운동을 위치-시간(s-t) 그래프로 나타낸 것입니다.

거북이는 점점 더 빨라지거나 점점 더 느려지는 운동을 하고 있습니다.

두 그래프 중 어떤 것이 점점 더 빨라지는 운동을 나타낸 것일까요?

▲ 거북이의 운동을 나타낸 위치-시간 (s-t) 그래프입니다. 점점 빨라지는 운동은 어떤 것일까요?

정답은 왼쪽 첫 번째 그래프입니다. 이유를 두 가지 방법으로 설명해 보겠습니다.

0~5초와 5~10초 두 구간으로 나눠 봅시다.

왼쪽 그래프는 0~5초 동안 약 10m, 5~10초 동안 약 40m를 갔습니다. 즉 더 빨려졌죠.

오른쪽 그래프는 0~5초 동안 약 38m, 5~10초 동안 약 12m를 갔습니다. 즉 더 느려졌죠.

또 다른 방법으로 생각해 봅시다.

s-t그래프의 기울기는 속도를 의미한다고 했습니다.

그럼 매 순간순간의 그래프 기울기는 그 순간의 속도를 의미하게 됩니다.

왼쪽 그래프는 기울기가 점점 증가합니다. 즉, 속도가 더 빨리지고 있습니다.

오른쪽 그래프는 기울기가 점점 감소합니다. 즉, 속도가 더 느려지고 있습니다.

▲ 접선의 기울기는 순간 속도를 의미합니다.

① 순간 속도 : 한 순간의 속도, s-t그래프에서 접선의 기울기
고속도로 과속 단속 카메라에서 측정하는 속도 (ds/dt 미분 값)
② 평균 속도 : 구간의 평균적인 속도, s-t그래프에서 구간 직선의 기울기
고속도로 구간 단속 카메라에서 측정하는 속도 (전체 변위/전체 시간)