고양이가 개보다 더 많은 것 같은데?
A: “고양이가 개보다 많다”라는 문장 말이야, 숫자를 쓰지 않고 나타내고 싶어!
B: 뭐? 어떻게 그게 가능해?
A: 나는 숫자를 쓰지 않고 저 문장을 크기, 부분-전체 관계 만으로 번역할 거야.
B: 흠… 그래, 좋아. 번역된 문장에는 무슨 술어를 쓸 계획인 거야?
A: ‘~의 일부이다(is part of)’라는 술어랑, 보조 술어인 ‘~~보다 크다(is bigger than)’를 활용할꺼야.
B: 아까 언급한 크기 그리고 부분-전체 관계를 나타내는 술어네!
A: 그렇지! 마지막 ‘x is a bit’이라는 술어가 제일 중요해.
B: bit? 작은 조각? 그걸 정확히 어떻게 정의할꺼야?
A: 모든 고양이와 개를 불러 와. 그리고 공통적으로 가장 작은 고양이나 개를 골라내는거지.
B: 그 다음엔?
A: 그니깐, 가장 작은 동물과 동일한 크기를 지닌 모든 대상에 적용되도록 정의된다는 거야.
B: 다시 말해줄 수 있어?
A: 조금 다르게 정의해 볼게. ‘x is a bit’의 정의는 다음과 같아: 임의의 y에 대해, 만약 y가 고양이이거나 개이고, 다른 어떤 고양이나 개보다도 더 크지 않다면(즉, 그 집단 내에서 최소 크기라면), 당연히 x가 y보다 크지도 않고 y가 x보다 크지도 않음을 의미하겠지?
B: 좀 간단히 말해줘!
A: 응. x가 ‘bit’이고 z의 일부일 때 x를 “z의 bit(a bit of z)”라고 부를 거야.
B: 오.. 그럼 드디어 그 술어들을 이용해 문장을 번역할 때가 온거야??
A: 이제 “고양이가 개보다 많다”는 것은, 그리고 그럴 때에만, “각각의 고양이로부터 최소 하나의 bit를 포함하는 모든 개체가, 각각의 개로부터 최소 하나의 bit를 포함하는 어떤 개체보다도 더 크다” 라는 사실로 표현할 수 있어.
B: 그럼 고양이 bit 뭉탱이랑 개 bit 뭉탱이가 있다는 소리야? 최소라는 표현이 들어갔으니, 각 개체에서 bit를 적어도 하나씩 때와서 뭉친, 가능한 뭉탱이들끼리 크기를 비교하는거고?
A: 응! 이제 모든 가능한 고양이 bit 뭉탱이를 두고, 가능한 개 bit 뭉탱이를 비교해 한 개 bit보다 고양이쪽이 항상 크기가 크다는 경우의 수가 있다면 고양이의 수가 더 많다는 의미겠지?
B: 이제 알겠어. 가능한 모든 고양이 bit 뭉탱이들이랑, 가능한 모든 개 bit 뭉탱이 중 어떤 뭉탱이만 골라 비교했을때, 모든 고양이 뭉탱이에서 항상 더 큰 경우의 개 bit 뭉탱이가 단 하나라도 있다면 고양이가 개보다 더 많음을 의미하겠네?
A: 응. 근데 물론 그러한 개체는 시공간적으로 흩어져 있을 수 있겠지? 정말 이상한 뭉탱이야.
B: 뭉탱이
결론:
“고양이가 개보다 많다” 다음과 같이 번역할 수 있다:
“각 고양이의 bit를 적어도 하나씩 포함하는 모든 개체는, 각 개의 bit를 적어도 하나씩 포함하는 어떤 개체보다 더 크다“
