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by 정섭 Oct 24. 2024

청소년을 위한 게임이론 제3장. 제로섬게임(1)

내시균형이 있는 제로섬 게임

※ 맨 뒤에 요약이 있습니다.

┃제로섬 게임이란?┃

일정합 게임의 일종

‘제로섬 게임(Zero-sum game)’은 보수쌍의 합이 항상 0이 되는 게임을 의미합니다. 홀짝게임은 대표적인 제로섬 게임입니다. 제로섬 게임은 ‘일정합 게임(Constant-sum game)’의 일종입니다. 일정합 게임은 보수쌍의 합이 일정한 상수인 게임입니다. 보수쌍 각각을 더했더니 모두 5였다면 이는 일정합 게임입니다. 제로섬 게임은 보수쌍 각각을 더했더니 언제나 0인 일정합 게임으로 정의할 수 있습니다. 나머지 즉, 보수쌍의 합이 일정한 상수가 아니라 제각각인 게임은 ‘비일정합 게임(Non-constant-sum game)’입니다. 죄수의 딜레마 게임은 비일정합 게임입니다. 제로섬 게임인 홀짝게임에 순수전략 균형은 없다는 것을 앞에서 밝힌 바 있습니다. 그러나 모든 제로섬 게임에 순수전략 균형이 없는 것은 아닙니다.

┃균형이 있는 제로섬 게임┃

호프집 게임

이제 균형이 있는 제로섬 게임을 살펴봅시다. 시장 입구 호프집 이야기입니다. 치킨호프(A호프)와 시티호프(B호프)가 본격적인 가격경쟁에 돌입하는 이야기, 기억나시죠? 몇 가지 가정을 합시다. 일단 두 호프집은 모두 직원 월급과 임대료, 그리고 원료비로 매월 1,000달러의 고정비를 지출하고 있습니다. 두 호프집에 드나드는 고객은 합쳐서 월평균 1,000명입니다. 두 호프집은 현재 호프 500cc에 2달러를 받으면서 각각 월평균 500명의 고객을 받아 월평균 총수입 1,000달러를 법니다. 고정비용이 1,000달러이니 순수입은 0이 됩니다(고정비용은 기회비용이고, 여기에는 이윤도 포함된다고 가정합니다.).

만약 어느 한 호프집, 예컨대 A호프집 사장이 호프 500cc 가격을 1달러로 내리면 시장통 손님 1,000명은 물론 다른 시장통에 다니던 손님 1,000명까지 와서 2,000명의 손님이 들 것으로 예상됩니다. 하루 500cc가 1달러니 총 2,000달러의 총수입을 올리는데 고정비용 1,000달러를 빼면 순수입은 1,000달러가 됩니다. B호프집은 손님을 다 빼앗기기 때문에 고정비용 1,000달러의 손실이 나겠지요. 이것을 아는 B호프집도 어쩔 수 없이 호프 가격을 500cc 2달러에서 1달러로 내리게 될 것입니다. 그러면 2,000명의 손님은 다시 반반으로 나뉘어서 각각 1,000명의 손님이 들게 되고, 총매출은 다시 1,000달러로 떨어질 것입니다. 고정비용 1,000달러를 빼고 나면 순수입도 다시 0원으로 돌아가게 될 것입니다. 이 상황을 정규형으로 표시한 것이 그림 3.1입니다.

이 게임은 제로섬 게임입니다. 어떤 전략조합에서도 각 보수쌍의 합은 0입니다. 누군가가 얻으면 다른 누군가는 그만큼 잃습니다. 제로섬 게임입니다. 이 예에서도 알 수 있듯이 비슷한 규모의 기업들이 벌이는 출혈경쟁이 대부분 제로섬 게임일 가능성이 높습니다. 앞에서 우리가 살펴본 제로섬 게임은 홀짝게임이었습니다. 그리고 홀짝게임에서는 내시균형이 없다는 것도 우리는 압니다. 그렇다면 호프집 게임에도 균형이 없을지를 한번 점검해 봅시다.

호포집 게임의 내시균형

A호프의 선택을 먼저 살펴봅시다. B호프가 1달러를 받을 때 A호프는 1달러가 최선의 반응입니다(⓵의 0과 ⓶의 –1000 비교, 알죠?). ⓵의 앞자리 0 아래에 밑줄 쫙. B호프가 2달러를 받을 때 A호프의 최선 반응 역시 1달러입니다(⓷의 1000과 ⓸의 0 비교). ⓷의 1000 아래에 밑줄 쫙. B가 어떤 선택을 하든 A는 1달러가 최선의 반응입니다. 이 말은 A에게 1달러가 우월전략이라는 말입니다.

이번에는 B호프의 선택을 봅시다. A호프가 1달러일 때 B호프도 1달러가 최선 반응입니다(⓵의 0과 ⓷의 –1000 비교), ⓵의 뒷자리 0 아래에 밑줄 쫙. A호프가 2달러일 때도 B호프는 1달러가 최선 반응입니다(⓶의 1000과 ⓸0 비교). ⓶의 1000 아래 밑줄 쫙. B호프도 A호프가 어떤 선택을 하든 최선 반응은 1달러이군요. B의 우월전략도 1달러군요. 결론, 이 게임의 우월전략 균형, 그래서 내시균형은 (1달러, 1달러)입니다.

균형이 있는 제로섬 게임도 있다.

이 게임은 홀짝게임과 같은 제로섬 게임이지만 균형(내시균형)이 존재합니다. 그것도 우월전략 균형이군요. 제로섬 게임에도 순수전략 내시균형이 존재한다는 것이 증명됐습니다. 제로섬 게임의 재미있는 특성은 다음 시간에 계속됩니다.