청소년을 위한 게임이론 제4장. 혼합전략 내시균형(3)
홀짝게임 혼합전략 내시균형, B의 반응곡선
※ 맨 뒤에 요약이 있습니다.
┃B의 반응곡선 그리기┃
p(A의 결정)에 따라 결정되는 q(B의 반응)
자 이제 지금까지의 논의를 정리하면서 홀짝게임의 혼합전략 내시균형을 그래프로 표현해 보겠습니다. 지금부터는 실제로 홀짝게임을 한다고 생각하면서 보시기 바랍니다. 지금 A인 여러분은 B라는 가상의 인물과 홀짝게임을 하고 있습니다. A가 홀을 쥘 확률인 p가 0.5보다 높으면 상대방인 B는 어디다 걸까요? B로서는 홀과 짝 사이에서는 ‘무조건’ 홀을 부르는 것이 최선의 반응입니다. 이 말은, A가 홀을 선택할 확률 p가 0.5보다 조금이라도 높으면 B는 무조건, 즉 확률 100%로 홀을 선택할 것이라는 의미입니다. 즉 이 경우 B가 홀을 선택할 확률인 q는 1이 된다는 것입니다. 이는 p>0.5면 q=1 임을 의미합니다. OK?
반대로 A가 홀을 선택할 확률 p가 0.5보다 낮으면, 다시 말해 짝을 선택할 확률 (1-q)가 0.5보다 높으면 B는 ‘무조건’ 짝에 걸 것입니다. 이는 B가 홀을 걸 확률인 q는 0이 된다는 것을 의미합니다. 이는 p <0.5면 q=0로 쓸 수 있습니다. 이 간단한 원리를 멋있는 식으로 쓰면 다음과 같습니다.
(a) p > 0.5면, q=1
(b) p = 0.5면, q는 0과 1 사이 무작위의 어떤 값(=운에 맡긴다)
(c) p < 0.5면, q=0 이상 (식 4.5)
식을 해석하면 다음과 같이 됩니다.
(a) A가 홀을 쥘 확률(p)이 0.5보다 높으면 B는 100%의 확률로 홀을 선택한다(q=1).
(b) A가 홀을 쥘 확률(p)이 0.5이면 B는 홀이나 짝 아무것이나 선택한다(운에 맡긴다).
(c) A가 홀을 쥘 확률(p)이 0.5보다 낮으면 B는 0%의 확률로 홀을 선택한다(q=0).
이 식은 B가 취할 최선의 반응은 A가 취하는 혼합전략에 따라 달라진다는 것을 보여줍니다. 즉 A가 홀을 쥘 확률인 p가 0.5보다 크거나 같거나 작은 혼합전략에 따라 q, 즉 B가 홀을 부를 것인지 짝을 부를 것인지가 결정된다는 것입니다. A의 전략에 따른 B의 최선 반응을 나타냅니다. 이것을 그래프로 그릴 수 있을까요? 다음 그림 4.2처럼 그릴 수 있습니다. A의 전략에 따른 B의 최선 반응을 그린 그림입니다. 이를 줄여서 B의 ‘반응곡선(reaction curve)’이라고 부르기도 합니다.
함수를 알면 그래프는 식은 죽.
여러분, 그래프 역시 무서워할 필요가 없습니다. 그래프가 나오면 그림을 먼저 보지 말고, 제일 먼저 좌표축을 봐야 합니다. 좌표축이 뭔지를 제대로 이해하면 그래프는 어려울 것이 하나도 없습니다. 그래프를 그릴 때도 마찬가지입니다. 그래프를 그리기 위해 가장 먼저 해야 하는 것이 수평축(x축)과 수직축(y축)을 정하는 일입니다. 그래프는 함수관계를 그림으로 나타낸 것이기 때문입니다.
함수? 독립변수(x)와 종속변수(y)의 관계일 뿐, 좌표축만 정하면 끝!
함수는 별게 아닙니다. 독립변수인 x의 값에 따라 종속변수인 y의 값이 결정되는 어떤 관계를 함수라고 말합니다. 예컨대 y=2x 함수는 독립변수 x가 1이면 종속변수 y는 2로 결정(대응)되는 관계를 나타내는 것을 생각하면 됩니다. 이를 그래프로 그릴 때는 보통 x는 수평축, y는 수직축에 표시합니다.
(식 4.5)의 (a), (b), (c) 세 개의 식은 모두 p값에 따라(그러므로 p는 독립변수) q값이 정해지는(그러므로 q는 종속변수) 함수 관계입니다. 그러므로 p를 수평축인 x축, q를 수직축인 y축으로 설정하면 그래프를 그리는 첫 번째 단계가 마무리됩니다. 이렇게 정한 좌표 평면에 위의 식 4.5의 (a), (b), (c)를 그려 넣은 것이 그림 4.2입니다. 그림에서 점선은 0.5 기준을 나타내는 보조선이고 빨간색이 함수관계를 그린 곡선, 여기서는 반응곡선입니다.
그림 4.2
먼저 식(a). x축의 p가 0.5보다 크면 q는 1이라고 했습니다. p가 0.5보다 크면 q는 1이니까 첫 번째 그림 (a)는, p가 0.5 이상인 영역에서 q=1을 연장한 빨간색 수평선이 됩니다. 그림(b)의 빨간색 선은 p=0.5에서 수직으로 그은 직선입니다. 즉 식(b)의 표현대로, p=0.5이면 q는 0에서 1까지의 수 어떤 것도 괜찮다고 한 것을 의미합니다. 마지막 그림 (c)는 p <0.5면 q=0인 것을 의미합니다. 이 세 개의 선을 하나의 그래프에 합치면 그림 4.3이 됩니다.
그림 4.3(B의 최선 반응곡선)
그림 (a), (b), (c)를 모으면 B의 반응곡선
이제까지 우리가 한 것은, A의 선택에 대응하는(=p를 독립변수로 하는), B의 반응을 나타내는(=q를 종속변수로 하는) 함수, B의 반응곡선이었습니다. 이제 우리는 반대로 B의 선택에 대응하는 A의 반응을 나타내는 반응곡선을 하나 더 그려야 합니다. 이 둘을 모두 그려야 홀짝게임의 혼합전략 균형점을 찾을 수 있을 것입니다. 나머지는 다음 글에서 살펴보겠습니다.
┃요약┃
- 홀짝게임의 혼합전략에서 B는 다음과 같은 의사결정을 할 것입니다.
(a) A가 홀을 쥘 확률(p)이 0.5보다 높으면 B는 100%의 확률로 홀을 선택한다(q=1).
(b) A가 홀을 쥘 확률(p)이 0.5이면 B는 홀이나 짝 아무것이나 선택한다(운에 맡긴다).
(c) A가 홀을 쥘 확률(p)이 0.5보다 낮으면 B는 0%의 확률로 홀을 선택한다(q=0).
- 즉, B의 결정 q는 A의 결정 p에 종속됩니다. 그러므로 p는 독립변수, q는 종속변수가 됩니다.
- 이 관계를 그래프로 그리면 좌표축은 독립변수 p는 수평축, 종속변수 q는 수직축이 됩니다.
- 이 세 개의 함수관계를 하나로 모으면 그림 4.3과 같은 B의 반응곡선이 됩니다.
