로지스틱 함수와 인구 성장 모형

로지스틱 함수는 1838년 수학자 Pierre François Verhulst가 인구 성장(population growth)을 모델링하기 위해 처음 제안했다. 당시에는 인구가 기하급수적으로 증가한다는 Malthus의 인구론(1798)이 제안되었지만, 현실에서는 그렇게 무한히 증가하지 않는다는 문제가 있었다. Verhulst는 인구 성장에 자원이나 공간 등 환경적 제약이 있다고 보고, 단순 지수 성장을 보정한 새로운 모델을 제안했다.

K는 인구가 최대로 유지될 수 있는 한계치이다. N은 초기에는 지수성장으로 빠르게 증가하지만 점점 성장률이 둔화되어, K 근처에서 포화상태(plateau)에 도달한다. 점차 완만해져 로그적인(logarithmic) 성질을 보인다는 점에서 Verhulst는 이 함수를 Logistique 함수라는 이름을 붙였다.

N(t)과 같이 S자 모양의 곡선을 띄는 함수를 시그모이드(sigmoid) 함수라 부른다. 수학적으로는 실수 전체 (-∞,∞) 입력을 받아, 출력이 일정한 상/하한에 점근하는 단조증가 함수를 통틀어 시그모이드 함수라고 부른다. 로지스틱 함수를 포함하여, 하이퍼볼릭 탄젠트(tanh), 아크탄젠트(arctan) 등이 대표적인 예시이다.

다만, 머신러닝에서 sigmoid는 보통 로지스틱 함수를 지칭한다. 이는 로지스틱 함수가 확률적 해석이 가능하고, 출력 범위가 (0, 1)이기 때문에 이진 분류의 확률로 사용할 수 있기 때문이다.

방정식 풀이 참고