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by 강태진 Nov 24. 2024

물리학으로 바라보는 세상

고전역학 - 미래는 예측 가능하다 (2)

또 다른 사고 실험을 해 보자. 지구 위에서 돌멩이를 앞으로 힘껏 던진다. 이 돌멩이는 한 20m쯤 날아가다 땅에 떨어질 것이다. 바로 지구와 돌멩이가 서로 당기기 때문이다. 이 번에는 화약을 장전한 대포로 돌멩이를 쏘아보는 데 방향은 동일하게 정면이다. 이 돌멩이는 아까 손으로 던질 때와는 비교할 수 없는 빠르기로 날아가다 1km쯤 앞에서 떨어질 것이다. 다음에는 대포의 화약을 더 많이 넣고 쏘아본다. 이 번에는 10km쯤 날아갈 것이다. 화약을 더 넣고 더 고성능의 대포로 쏜다면 100km, 1,000km, 5,000km 이렇게 거리가 늘어날 것이다. 지구 위에서는 중력이 작용하기 때문에 분명히 어딘가에는 떨어질 것이다. 그런데, 거리를 계속 늘이다가 어느 순간 지구의 반경 정도에 해당하는 거리까지 날려 보낼 수 있다고 하자. 지구는 구형이므로 표면이 매끄럽다고 가정하면 어느 순간부터 돌멩이는 땅에 떨어지지 않고 지구 주위를 돌 수 있다. 사실 그 돌멩이는 매 순간 땅으로 떨어지고 있다. 다만, 선속도 성분이 커서 기하학적으로 원운동을 하는 것일 뿐이다. 이 원운동에도 우리가 앞서 다루었던 인자들이 모두 들어 있다. 돌멩이의 질량 m, 구심 가속도는 지구의 중력 가속도이며, 끈의 길이에 해당하는 것은 지구 중심에서 돌멩이까지의 거리이다. 선속도 v는 대포를 쏘았을 때 포신을 나오는 돌멩이의 속도이다.

그림. 대포로 돌멩이를 쏘아보자

인공위성은 이러한 원리를 이용하여 지구 주위를 별도의 동력 없이 돌 수 있다. 앞에서 계산한 구심력을 지구의 인력 (만유인력)과 동일하다고 놓으면 다음 식이 만들어진다.

F (구심력) = m r ω²

F (지구의 인력) = G m M / r²

m r ω² = G m M / r²

ω² = G M / r³

여기서, v = r ω 이므로, ω = v / r,

v² / r² = G M / r³

v = √(G M / r)

r은 지구 중심에서의 거리이므로 지구 반경을 R이라 하면, 인공위성의 높이 h는 r - R이 된다. 인공위성이 지구에 추락하지 않고 지상 높이 h에서 무동력으로 지구 주위를 돌 수 있는 초기 속도를 구하면 다음과 같다.

v = √(G M / (R + h))

여기서, v는 인공위성의 초기 선속도, G는 만유인력상수, M은 지구의 질량, R은 지구의 반경, h는 지상으로부터 인공위성까지의 높이이다.

만유인력 상수는 G = 6.67×10^-11 N·m²/kg² 의 값을 갖는다. 이 값은 우주 어디에서도 동일한 값을 갖는 상수이다. 지구의 반경을 6,400 km, 지구의 질량을 5.9736×10^24 ㎏ 이라고 하면, 지상 36,000 km 상공에서 궤도를 도는 질량 500 kg인 인공위성의 속도가 얼마인지 계산할 수 있다.

v = √(6.67×10^-11 N·m²/kg² x 5.9736×10^24 ㎏ / (6400 x 10³ m + 36000 x 10³ m))

= 3,065 m/s

= 11,036 km/h

시속 1만 1천 km의 속도는 어마어마하게 빠른 것이다. 지상 36,000 km 상공은 공기가 없어 운동에 작용하는 저항이 없다고 봐도 무방하다. 그런데, 인공위성의 질량은 이 계산에 쓰이지 않는 것일까? 인공위성이 지구 주위 궤도를 무동력으로 돌 수 있을 만큼의 속도를 만들어 내야 하는데, 이 때 필요한 힘을 계산할 때 사용된다. 인공위성에 가해지는 힘을 F, 인공위성의 질량을 m이라고 할 때, 속도 v에 도달할 때까지 가속시켜야 하는 힘은 어떻게 계산될까?

F = m a

이 식은 매우 유명해서 이미 알고 있을 것이다. 질량 m인 물체에 F의 힘이 가해지면, 이 물체는 a의 가속도 운동을 한다. 정지해 있던 물체를 가속하면 속도가 0에서부터 점점 증가한다. F의 크기가 일정하다고 하면 a는 일정하고, 우리는 이 것을 등가속도 운동이라고 부른다. 시간 t 동안 힘을 가하여 원하는 속도 v에 도달했다고 가정하자. 그럼 우리는 속도 v를 F, m 그리고 t의 함수로 나타낼 수 있다.

그림. 속도, 시간 관계 그래프 (등가속도 운동)

위 그래프에서 선의 기울기가 가속도를 나타낸다. 일반적으로 시각 t1일 때 속도를 v0, 시각 t2일 때 속도를 v라고 해보자. 이를 식으로 나타내면 a = (v - v0) / (t2 - t1) = Δv / Δt 가 된다. 그러면 F = m (Δv / Δt)가 되고, Δv에 대해 정리하면,

Δv = F Δt / m 이 된다.

우리는 인공위성의 질량과 도달해야 할 속도를 알고 있다. 만약, 정지해 있던 인공위성이 10분 안에 목표 속도에 도달하려면 추진력은 얼마이어야 할까?

위에서 만들어 놓은 F = m (Δv / Δt)에 대입해 보면, 그 힘을 구할 수 있다.

F = 500 kg x ((3065 m/s - 0 m/s) / 600 s)

= 2,554.2 kg m/s²

= 2,554.2 N

이번에는 인공위성을 지구 상공 어딘가에 정지시켜 보자. 정지라는 표현을 썼지만 사실은 지구의 자전 각속도와 인공위성의 공전 각속도가 같으면 된다. 지구의 자전 각속도는 어떻게 구하면 될까? 지구가 하루에 한 바퀴 자전한다고 가정하면, 자전하는 데 걸린 시간은 24시간이고, 24 x 60 x 60 초가 될 것이다. 이미 우리는 앞에서 각속도 ω = Δθ / Δt 라는 것을 배웠고, 한 바퀴 자전할 때 변한 각도 360˚ = 2π radian 이므로, 다음 식이 성립한다.

ω_지구 자전 = Δθ / Δt

= 2π radian / (24 x 60 x 60 초)

= 0.0000727 rad/s