확률이란 무엇인가? (첫번째)

예전에 적었던 글

우리가 사는 자연 현상을 기술하는 언어를 흔히 "수학"이라고 칭합니다. 자연과학이나 공학을 전공하신 분들은 이 수학이 영어만큼이나 사람을 괴롭히기도 하죠. 

일반적으로 자연 현상을 수학적으로 표현하는 방법은 사물을 관찰하고, 거기에 맞는 자료를 모은 다음, 그 자료를 토대로 방정식이 형태로 표현하는 모델링의 과정을 거칩니다. 이 모델링 방법은 크게 두가지로 나누어 집니다. 하나는 결정론적방법(Deterministic Method)과 확률론적인 방법(Stochastic Method)이 그것인데요. 어떤 방법을 쓰든지 가장 이상적인적인 모델링은 단순히 주어진 자료를 표현할 뿐만 아니라, 그 자료를 모은 계의 일반적인 상태를 다 표현 할수 있는 방정식을 뜻합니다. 이 말인 즉은, 우리가 과거의 자료들을 가지고 모델링을 했더라도, 그 모델을 가지고, 현재 혹은 미래의 해(Root)를 계산할수 있다는걸 의미합니다.

예를 들어, 물체가 자유낙하를 할시에는 등가속도 운동을 합니다. 즉, 자유 낙하는 물체의 속도는 V = a*t(a=9.8m/s)의 형태가 되죠. 이식은 과거의 실험을 통해 만들어진 모델(혹은 방정식)입니다. 자, 여러분이 이제 실험을 합니다. 물체를 떨어뜨리는거죠. 2초후의 이 물체가 가지는 속도는? 물론, 실험을 통해서, 직접 값을 찾아 낼수도 있지만, 우리는 주어진 식(V=a*t)을 이용하여, 2초 후의 물체 속도를 추측할수 있다는 겁니다. 근데, 문제가 있죠. 위의 식이 아주 이상적인 해라면, 2초뒤 이 물체의 속도는 틀림없이 2*a가되어 합니다만, 실제로는 그렇게 나오지 않죠. 

Example of Stochastic Ocilations 

일단, 식자체서 문제가 있습니다. 자유낙하시 영향을 주는 중력가속도는 정확하게 9.8이 아닙니다. 조금 차이가나죠. 두번째 문제 위의 식은 공기저항을 생각하지 않은 모델입니다. 즉, 공기중의 자유낙하 실험에서는 공기마찰력에 의해 생기는 저항을 넣어 줘야 한다는 겁니다. 이렇게 될경우 새로 만들어진 식은> 그럼, 수학에서는 어떤지 한번 알아 봅시다.일반적으로 모든 함수는 시리즈의 형태로 표현이 가능합니다. 흔히, 변환이라고 불리는 이러한 방법의 예가 바로, 테일러, 라플라스, 풀리에시리즈죠. 또 다시 한번 예를 들어 봅시다. 여러분은 x축과 y축이 있는 종이에 어떤 줄로 표시된 그래프가 있다고 합시다. 여러분은 이 그래프(마구 잡이로된)를 함수로 표현하고 자합니다. 이 그래프가 직선임이 확실하다면, 여러분은 y=f(x)=a*x+b의 형태로 놓고, 그래프가 지나가는 두 포인트를 잡고, 저 식에 넣어서 a 와 b를 구하면 되겠죠.이건 종이에 있는 그래프가 "직선"일 경우에 그렇습니다. 만약,마구 잡이(?) 그래프라면 어떻게 할까요? 시리즈의 형태로 풀 수 밖에 없죠. 그렇지만 여기서부터 문제가 생깁니다. 일단, 함수의 텀(Term) 무한대이기 때문에 실질적으로 모든 Term의 계수를 정해준다는건 애시당초 불가능 하죠. 

그렇지만, 어느정도 오차범위 허용한다면, 일정 범위내에서는 상당히 정확한 함수 즉, 종이에 그려진 그래프와 유사한 함수를 만들어 낼수가 있죠. 위의 물리 실험과 방법은 비슷합니다. 범위를 좁게 한다음, 계수를 정해주고, 한 차수 높은 텀(Term)넣어준다음, 계수정해줘서 튜닝하고...여기까지가 바로 지금까지 그리고, 아직까지 쓰이고 있는 Deterministic Method(결정론적 기법)입니다.