Black-Scholes Model
블랙–숄즈(Black–Scholes) 모형은 유럽형 옵션(만기 때만 행사 가능한 콜/풋) 가격을, 기초자산 가격이
연속적으로” 움직인다는 가정 아래 닫힌형(공식)
해로 계산하는 대표 모델입니다.
핵심 가정(요지)
기초자산 가격은 기하브라운운동(GBM) 을 따른다(수익률은 정규, 가격은 로그정규).
무위험이자율 r, 변동성 σ 는 만기까지 상수.
거래비용·세금 없음, 공매도 가능, 연속 헤징 가능.
배당 없음(배당 있으면 보정형을 씁니다).
블랙–숄즈 공식(배당 없는 경우)
기호:
• S_0: 현재 주가(기초자산 가격)
• K: 행사가격
• T: 만기까지 시간(년)
•r: 연 무위험이자율(연속복리로 쓰는 경우가 많음)
• \sigma: 연 변동성
• N(\cdot): 표준정규 누적분포함수(CDF)
d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r+\frac12\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}},\quad
d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}
• 콜(유럽형)
C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)
• 풋(유럽형)
P=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1)
배당(연속 배당수익률 q)이 있으면
C=S_0e^{-qT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)
P=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0e^{-qT}N(-d_1)
여기서 d_1의 r을 r-q로 바꿔 쓰면 됩니다.
이 모형이 주는 것: “가격 + 민감도(그릭스)”
가격뿐 아니라, 델타/감마/베가/쎄타/로 같은 민감도를 바로 계산해 헤징과 리스크 관리에 씁니다.
델타(콜): \Delta = N(d_1) (배당 있으면 e^{-qT}N(d_1))
베가: 변동성에 얼마나 민감한지(옵션 시장 실무에서 특히 중요)
한계(현실과 안 맞는 지점)
실제 시장 변동성은 만기·행사가에 따라 달라져 변동성 스마일/스큐가 생김(σ가 상수 가정 깨짐).
급락/급등 같은 점프, 두꺼운 꼬리(정규보다 극단값이 자주 나옴) 반영 부족.
연속 헤징 불가능(거래비용·유동성·갭리스크).
숫자 예시로 S_0, K, T, r, \sigma 넣어서
콜/풋 가격.
#Black_Scholes_Model
