St.Petersburg Paradox
상트페테르부르크 역설(St. Petersburg Paradox)은
“기대값이 무한대인데도 사람들은 유한한 돈만 내려고 하는 이유”를 설명하는 확률·경제학의 대표적 역설이다.
1) 문제 설정 (고전적 게임)
동전을 계속 던진다.
• 처음 앞면이 나오는 순간 게임 종료
• 보상금:
• 1번째 앞면 2¹ = 2원
• 2번째 앞면 2² = 4원
• 3번째 앞면 2³ = 8원
• n번째 앞면 2ⁿ 원
2) 기대값 계산
확률:
n번째에 처음 앞면이 나올 확률 = (1/2)ⁿ
기대값 E:
E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot 2^n
= \sum_{n=1}^{\infty} 1
= \infty
이론적으로 기대값 = 무한대
3) 역설
논리적 결론:
이 게임은 무한히 가치가 있으므로
사람은 참가비로 무한대의 돈을 지불해야 함
현실:
대부분 사람은 몇 만원~몇 백만원 이상 내지 않음
“무한 기대값 vs 유한 지불 의사”의 충돌 =
상트페테르부르크 역설
4) 해결 시도 (현대 경제학의 핵심)
(1) 베르누이의 해결: 효용(Utility) 개념 (1738)
다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli):
돈의 가치는 선형이 아니라 로그 함수적
효용 U(x) = log(x)
기대 효용은 유한
현대 경제학의 출발점
= “기대값”이 아니라 “기대효용”으로 판단
(2) 현실적 제약
1. 무한 자본 불가능
• 카지노도 무한 지급 불가
2. 인간의 위험 회피 성향
• risk aversion
3. 시간·심리적 비용
4. 실제 확률의 체감 왜곡
• 행동경제학 (Kahneman, Tversky)
(3) 확률 모델 수정
• 지급 상한선(cap) 설정 기대값 유한
• 할인율 적용 기대값 감소
• 현실적 확률 구조 적용
5) 경제·금융에서의 의미
(1) 합리적 인간 모델의 붕괴
인간은 기대값이 아니라 효용으로 판단
Homo Economicus의 한계
(2) 금융시장 적용
고수익·저확률 투자 (옵션, 벤처, AI 스타트업)
기대값은 큰데 왜 사람들이 안 사는가?” 문제 설명
(3) 현대 금융의 핵심 질문
“왜 사람들은 무한 기대값을 믿지 않는가?”
6) 직관적 한 줄 정리
상트페테르부르크 역설 =
수학적 기대값과 인간의 실제 선택 사이의 괴리를
드러낸 사건
AI 투자, 벤처, 비트코인에 적용한
상트페테르부르크 역설
나심 탈레브(Black Swan)와의 연결
한국 부동산·주식 사례로 설명
#St_Petersburg_Paradox
