논리+수학, 조지 불 3

불은 논리의 본질은 연결 짓기라고 봤다. 그는 “논리는 두 종류의 관계, 즉 사물 간의 관계와 사실 간의 관계에 익숙해지는 것”이라고 정의했다. 불에 따르면 “모든 사람은 죽는다”는 표현은 “사람”과 “죽을 운명”이란 두 가지가 연결 짓기 된 상태다. 그는 이러한 논리적 연결짓기를 통해 인간 정신의 본질에 닿을 수 있다고 봤다. 그는 “이전 연구의 과학적 결과로부터 인간 정신의 본질과 그 구성에 관한 일반적인 암시를 끌어내 보려고 한다”라고 주장했다.

불은 인간의 생각과 마음을 결정하는 하나의 법칙이 있다고 봤다. 그 중심에는 일정한 규칙을 따라 움직이는 논리가 있다. 논리는 생각을 움직이는 기본적인 법칙이다. 다음은 불의 말이다.

“마음이 일정한 법칙으로 결정되고 그 법칙이 정해져 있다면 이에 대한 탐구는 무엇보다 중요하고 시간을 들여서라도 찾아내야 할 것이다. 이는 철학이나 역사학에서도 마찬가지다. 내가 던진 질문이 완벽하지 않고 지금 내놓은 결과물이 이를 포함하지 않다고 해도 말이다.”

불이 남긴 연구는 훗날 불 대수(Boolean Algebra)라 불리는 연구로 이어졌다. 불 대수에 쓰이는 기본적인 법칙은 불이 고안한 방식이 적용됐다. 불 대수는 논리적 상관관계를 다루고 계산하는데 쓰인다. 연산의 종류와 변수들이 참인지 혹은 거짓인지에 따라 논리적 명제들을 구분하는 데 사용한다.

불 대수의 예를 들면 다음과 같다.

교환법칙 : A + B = B + A

결합법칙 : A + (B + C) = (A + B) + C

분배법칙 : A * (B + C) = A * B + A * C // A + B * C = (A + B) * (A + C)

멱등법칙 : A + A = A // A * A = A

보수법칙 : A + A' = 1 // A * A' = 0

항등법칙 : A + 0 = A // A + 1 = A // A * 0 = 0 // A * 1 = A

드모르간 법칙 : (A + B)' = A' · B' // (A · B)' = A' + B'

0×y=0, or0y=0,

불 대수는 세상에 있는 모든 디지털 기계장치를 설계하는데 쓰인다. 1과 0이라는 이진수를 통해 모든 생활에 쓰이는 모든 논리적 체계를 만들 수 있다. 불의 연구가 있었기에 어떤 명제가 참인지 거짓인지 계산할 수 있게 됐다.

디지털 장치는 자체적인 논리에 따라 작동한다. 일례로 에어컨에 온도조절 장치가 없다면 에어컨은 전기를 차단하기 전까지 꾸준히 돌아갈 것이다. 설정한 온도에 도달하면 작동을 멈추는 기능은 간단하지만 에어컨을 작동하는 데 있어 핵심적인 기술이다. 이를 실행하는 건 불 대수다. 전원 버튼이 눌려 있고 온도계가 설정한 온도에 도달하면 열기를 내뿜는 실외기가 멈춘다. 설정한 온도를 넘어설 에어컨 작동을 멈추는 논리는 지극히 단순하지만 에어컨의 가장 중요한 기능 중 하나다. 그런 단순함에서 디지털 기계 장치는 시작한다.