수학에서 차원의 의미
타임머신이 가능할까
선(line)이 움직여 면(area)을 만든다는 얘기를 하다가 차원에 대한 스토리로 넘어갔습니다. 다음은 수업 실황
태초에 빛이 있었던 것이 아니라 '점'이 있었느니라~
점은 0차원이지. 점이 움직이면 선이 만들어진다. 선은 1차원. 선이 움직이면 무엇이 창조될까?
맞아, 면이 만들어져. 면은 2차원이야. 회화를 2차원 예술이라고 하잖아. 2차원이라서 단위도 ㎡/㎠/㎟ 이렇게 제곱을 붙이는거야.
그럼 2차원 면이 움직이면 무엇이 창출될 것인가? 그래, 3차원 입체가 생긴다. 짐작하겠지만 체적단위가 ㎥처럼 세제곱이 붙는 것이지. 1㎥가 얼마나 되는 줄 아니? 가로,세로,높이가 각각 1m 인 큰 주사위 모양의 통을 상상해보자. 얼마나 큰 크기일까?
위와 같은 드럼통을 본 적이 있지. 1㎥엔 이런 드럼이 다섯 개가 들어갈 수 있어. 한 드럼에 200리터니까 1㎥는 몇 리터라고 말할 수 있지? (아무도 대답하지 않는다) 종찬이가 대답해보자. (귀찮은 듯이) "1000리터잖아요"
그렇다면 3차원 입체가 움직이면(이동하면) 무엇이 창출될까?
입체가 움직인다고 해서 입체 아닌 또 다른 것이 생길까? '움직인다'는 것은 흔히 '운동한다'고 말한다. 운동하기 위해선 반드시 시간의 흐름이 필요하다. 시간이 멈췄다고 생각해봐라. 조각품처럼 움직이지 않는 입체만 있을 뿐이야.
그래서 입체가 움직인다는 것은 시간이 흐른다는 것이지. 시간이 흐르는 공간, 즉 시공이 창조된단다. 영어로도 time-space라고 쓴다. 시공은 바로 4차원이야. 3차원 입체가 운동해서(움직여서) 만들어지는 창조적인 시공에서 우리가 살고 있으니, 우리가 사는 세상이 바로 4차원 세계지. 그러니 4차원 인간은 우리 모두를 말하는 것이다.
여기까지가 수업에 했던 이야기------------------
지금부터는 시간 제약으로 설명하지 못해서 사후에 부연하고 싶은 이야기.
점은 움직이지 않고 어떤 측정치도 갖고 있지 않아. 위치만 있을 뿐이지. 점이 움직여 만들어진 선이 직선만 있는 것은 아니다. 오히려 직선은 곡선의 특별한 형태지. 선이 구부러지면 어떤 일이 일어날까?
점 가에서 점 나로 여행을 떠난다면 원을 따라갈 것이다. 그러나 4차원 공간에 있는 인간이 볼 때 점 가와 점 나는 매우 가까이 있다. 바로 이웃에 있지만 1차원적 존재는 도저히 알 수 없다.(인식할 수 없다) 빙~ 돌아서 이웃집 점 나에게로 갈 수밖에 없는 것이다.
선이 움직여 면을 창조할 때도 마찬가지다. 선이 평면 위에서만 이동하지 않는다. 아래처럼 선이 원 모양으로 둥글게 이동하면 파이프 같은 면이 만들어진다.
3차원도, 4차원도 같은 상상이 가능하다. 2차원 면이 둥글게 이동하면 도우넛 모양이 될 것이다.
위의 상상을 4차원에 적용하면 어떤 모양이 만들어질까?
바로 우주 공간을 말할 수 있는데, 공간이 휘는 것이 아니라 시간이 휜다는 다소 어려운 상상이 가능하다. 시공은 시간+공간이 아니다. 그냥 '시공'이다. 시간과 공간이 분리될 수 없다는 말이다. 시간이 과거에서 현재를 거쳐 미래로 똑바로 날아간다는 것은 매우 특별한 경우이다. 마치 똑바른 직선이 현실적으로 불가능한 것처럼. 시간이 원처럼 둥글다는 것은 무엇일까?
시간과 공간이 분리될 수 없다면 시간이 둥글게 휘면 공간도 마찬가지로 둥글게 휠 것이다. 우주공간은 시공이 둥글게 휜 것이라면.....??
공룡이 주인이던 쥬라기 시대의 지구가 바로 이웃에 있을 수 있다.
다만 우리는 인식할 수 없을 뿐이다. 빛보다 빠르게 날아가면 과거로 여행할 수 있다는 상상은 새롭게 고쳐질 필요가 있다. 내가 어렸을 때 타임머신을 상상하면서 이해하기 어려웠던 것이 있었다.
'광속 이상의 속도로 여행하면 태양계와 우리 은하를 지나 안드로메다로 날아갈텐데 어찌해서 공룡이 뛰어노는 2억 년 전 지구에 있을 수 있단 말인가?'
빛보다 빠른 여행이란 휘어진 시공을 인식할 수 있는 높은 차원으로 들어간다는 것이고, '지금 바로 여기'와 '2억 년 전 한반도'가 내 어깨 옆에 있다는 것을 분명히 볼 수 있는 것이다.
이쯤되니 길거리에서 "도를 아십니까"라고 말하며 접근하는 사기꾼 수준이다.
하지만 수학은 이런 고민을 명쾌하게 밝히는 일을 한다. 우주천문학을 공부한는 학자들이 복잡한 수식을 칠판 가득 써놓는 이유가 여기에 있다. 스티브 호킹 박사는 11차원의 수식으로 우주를 풀이한다고 하지 않던가.
누구나 수학을 좋아할 수도 없고 열심히 할 필요도 없다.
하지만 세상과 우주에 대한 깊은 호기심이 있다면 인류가 고민한 역사를 따라갈 필요가 있다. 그것이 바로 수학을 공부하는 일이다.
