외각의 의미

외각(外角) 성질을 통한 패턴의 발견

도형의 내각을 모두 합한 것은 (n-2)×180º 라는 것을 이미 알았습니다.

오늘은 외각의 개념을 알아보는 시간입니다.

내각과 달리 외각은 어떤 n각형이든 총합이 360도로 모두 같습니다.

삼각형의 한  외각은 인접하지 않은 나머지 두 내각의 합과 같다는 것을 알았습니다. 

그리고 응용 문제 하나! 

정답은 180도!!

대부분 이해하고 문제를 해결했습니다.

이제 재밌는 작도에 도전~ 

1. 회전이동 기능을 사용하여 15도 벌어진 선분을 작도하고 임의의 점을 선 위에 스케치. 

2. 아래 그림처럼 이등변삼각형을 작도. 

3. 아래 그림처럼 같은 길이의 이등변삼각형을 연속적으로 작도. 

표시한 각도는 얼마인가?

풀이를 보겠습니다. 

그럼 이 문제는 어떻게 해결할 수 있을까요? 

위에서 표시된 각 7개를 모두 합하면 얼마입니까?

문제를 업그레이드한다면 이런 것도 있습니다.

위와 같은 문제를 제시하고 풀이를 함께 공유하는 기하(도형) 공부에서 기대하는 내용은 무엇일까 생각해 봅니다.

위 그림처럼 다르게 그린 작도에서 모두 같은 답이, 그러니까 표시한 7개 각의 합은 언제나 540도란 것이 변함이 없는 것을 신기하게 받아들이기를 바랍니다.

"어떻게 7개의 각이 모두 다른데 그 합은 540도로 변함이 없는가. 참으로 신기하구나"

세밀한 관찰을 통해, 도출된 답이 예외 없는 법칙성을 가질 때 우리는 우주의 원리를 발견한 듯한 탄성과 감동을 느낍니다.

변하지 않는 세상사의 패턴을 발견한 것과 같은 기쁨. 더 나아가 우주 삼라만상을 관통하는 법칙이 있다는 것을 깨닫고 우주의 질서를 느끼며 자연의 섭리 앞에 겸허해지는 경험을 수학수업이 가져다 줄 수 있습니다.

그 다음으로 나아갈 수 있습니다. 이제는 철학의 문제입니다.

흔히 서양철학사는 끊임 없는 플라톤의 변주라고 합니다. 삼라만상의 뿌리라 할 수 있는 절대근원을 풀어 이해하고 세상 일에 적용하는 것을 말합니다. 그것은 절대자의 무늬, 즉 질서정연한 패턴의 발견입니다.

수를 만물의 근원이라고 말한 피타고라스는 살아 생전에 무리수를 인정하지 않았습니다. 분수로 표현할 수 없고 순환법칙(패턴) 없이 영원히 계속되는 소숫점 아래 숫자들은 무질서한 것이고, 이러한 무질서는 우주원리에 어긋나는 것이니까요.

현대는 다릅니다. 과학분야에서 불확정성의 원리를 수학이 증명하고 있고, 우주의 패턴은 반드시 있으며, 그 패턴을 발견하는 것이  학문의 고갱이라고 생각했던 것은 무너진지 오래입니다.
삼각형이 완벽한 평면에 2차원적 도형으로 존재할 때만 세 내각의 합이 180도이며, 실제 우주공간에서 완벽한 평면을 기대할 수 없기에 유클리트 기하학은 현대 수학에서 거의 의미가 없습니다.

하지만 2천 년 전 유클리트 기하학이 있기에 현대의 비유클리트 기하학이 가능한 것처럼, 청소년들이 도형의 성질을 통해 변하지 않는 세상사의 패턴을 스스로 발견하는 것은 꼭 필요한 관문입니다.

신기해하고 "아하~!!!"를 외치는 경험. 그동안 진행한 수학수업에서 교사가 기대한 것입니다.