오리엔테이션과 퍼뮤테이션 성질 증명
큐브 이론의 시작과 끝
3x3x3 큐브가 가질 수 있는 경우의 수는 약 4325경 정도입니다. 그러나 이 많은 상황에 포함되지 않는 어떤 해법을 사용해도, 어떤 공식을 사용해도 도달하지 못하는 불가능한 상태가 무려 4325경의 11배만큼 존재합니다. 그 예로는 크게 아래의 네 가지 경우를 들 수 있습니다.
보이지 않는 면이 모두 맞아있다고 가정한다면 위와 같은 상태를 정상적인 회전만으로 맞춰진 상태로 되돌리는 것은 불가능합니다. 이 글에서는 위 4가지 상황이 나오지 못한다는 것에 대한 증명을 소개하겠습니다. 이미 꽤 알려진 증명법입니다.
※수학적 증명을 담고 있으나 큐브를 이해하는데 꼭 필요한 부분만 간추렸습니다. 그래서 실제 수학적으로는 엄밀하지 않은 내용일 수 있습니다.
1) 오리엔테이션
오리엔테이션이란 조각들이 어떻게 회전해 있는지를 나타냅니다. 한 조각의 오리엔테이션에 대해 이야기할 때는 그 조각이 제자리에서 어떻게 회전해 있는가(엣지는 어떻게 뒤집혀 있는가)를 봅니다.
오리엔테이션과 관련된 성질은 조각의 자리들에 색을 칠하는 방법으로 증명할 수 있습니다. 모든 조각에 위 그림과 같이 색을 부여합니다. 보이지 않는 면의 경우 보이는 면과 완전히 동일하게 색을 부여합니다. (D면은 U면의 색을, L면은 R면의 색을, B면은 F면의 색을 그대로 부여합니다.) 조각의 오리엔테이션이 맞았다고 할 때의 기준은 다음 그림에서 조각의 분홍색으로 표시된 면이 분홍색으로 표시된 자리에 있는가입니다. 어떤 회전도 시점만 적당히 조절해 주면 센터의 위치를 고정시킬 수 있기 때문에 센터 조각의 경우는 고려하지 않습니다. 자리뿐만 아니라 실제 조각에도 이렇게 칠을 한다고 가정하면 큐브가 맞춰져 있는 상황에서는 큐브의 모양과 위 그림이 정확히 일치하겠지만, 섞여 있는 상황에서는 차이가 생길 것입니다.
엣지 오리엔테이션
먼저 엣지 조각의 경우는 각 조각의 분홍색으로 표시된 면이 위 그림의 분홍색 면에 해당하면 1, 회색에 해당하면 -1의 값을 가진다고 정의합니다. 실제로 돌려보면 U, D, R, L, F2, B2 회전은 엣지 조각의 방향성을 항상 그대로 유지시킨다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 F와 B 회전은 몇 개의 엣지 조각의 오리엔테이션을 뒤집습니다.
예를 들어 F를 해 본다고 합시다. 그러면 F면에 있던 4개의 엣지 조각들은 1이었다면 -1로 바뀌고, -1이었다면 1로 바뀝니다. 부호가 바뀌는 거죠. 이를 수학적인 방법으로 표현하면 4개의 엣지 조각들에 각각 -1이 곱해진다고 표현할 수도 있을 겁니다. 그리고 12개의 엣지 조각들에 부여된 수를 전부 곱한다면 -1을 4번 더 곱한 것이니 결과적으로 1을 곱하는 것이 되어 일정하게 유지됩니다. 맞춰진 상태에서는 곱이 1이었으니, 항상 1이라는 사실을 알 수 있습니다.
이 사실로부터 항상 짝수 개의 엣지 조각들만 방향성이 맞춰져 있게 된다는 것을 알 수 있습니다.
코너 오리엔테이션
코너 조각의 경우는 각 조각의 분홍색으로 표시된 면이 위 그림에서 분홍색을 보고 있으면 1, 회색을 보고 있으면 ω, 하늘색을 보고 있으면 ω²의 값을 가진다고 정의합니다(ω³=1, ω≠1). 그림을 보면 U, D, R2, L2, F2, B2 회전은 코너 조각의 방향성을 항상 맞게 유지시킨다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 R, L, F, B 회전은 그렇지 않습니다.
위 그림은 R, L, F, B면을 나타낸 것입니다. 왼쪽 위 조각부터 시계방향으로 1,2,3,4번이라고 하겠습니다. 한 회전을 하면 1번 자리에 있던 조각은 2번 자리로, 2번은 3번으로, 3번은 4번으로, 4번은 1번으로 이동합니다. 이때 1번과 3번 자리에 있던 조각들은 이동하며 ω² 이, 2번과 4번 자리에 있던 조각들은 이동하며 ω가 곱해집니다. 따라서 코너 조각에 부여된 수들의 곱을 계산한다면 전체적으로는 ω를 6(1+2+1+2)번 곱한 것이 되고 이 값은 1이죠. ω³=1이니까요. 결과적으로 엣지와 마찬가지로 1이 곱해지기 때문에 항상 일정합니다. 맞춰진 상태에서는 곱이 1이었으니, 항상 1이라는 사실을 알 수 있습니다.
이 사실로부터 코너조각이 돌아간 각도를 모두 더하면 0도가 된다는 것을 알 수 있습니다.
2) 퍼뮤테이션
퍼뮤테이션이란 조각들이 위치를 서로 어떻게 바꾼 상태인가를 의미합니다. 퍼뮤테이션이 맞았다고 할 때의 기준은 모든 조각들이 맞춰진 상태의 자기 자리에 있는가입니다.
큐브에서 나올 수 있는 모든 퍼뮤테이션은 조각의 교환으로 나타낼 수 있습니다.
2개의 조각들의 위치를 서로 바꾸는 것을 1번의 교환이라고 정의합니다. 그리고 4개의 조각을 하나씩 옆으로 위치를 바꾸는 것을 4-순환이라고 정의합니다. 그렇다면 하나의 4-순환은 다음과 같이 3번의 교환으로 나타낼 수 있습니다.
A B C D → B A C D → B C A D → B C D A (물론 반대 방향으로도 가능합니다.)
그리고 원래 상태에서 2조각 위치 교환을 홀수 번 해서 만들어진 상태는 홀순열, 짝수 번 해서 만들어진 상태는 짝순열이라고 부르겠습니다. 이것을 순열의 홀짝성이라고 합니다.
예를 들어, 원래 상태가 (1, 2, 3, 4)라고 하면, (2, 1, 3, 4)는 한 번 교환했으므로 홀순열입니다. (2, 3, 1, 4)는 두 번 교환했으므로 짝순열입니다. (2, 3, 4, 1)은 세 번 교환했으므로 홀순열입니다. (4, 3, 2, 1)은 네 번 교환했으므로 짝순열입니다. 위에서 4-순환은 3번의 교환으로 나타낼 수 있다고 했으니 4-순환은 홀순열이네요.
3x3x3 큐브에서 모든 '회전'은 4개의 조각들을 한 칸씩 옆으로 이동하는 것입니다. 엣지, 코너에 각각 해당하죠. 위에서 내린 정의에 따르면 3x3x3 큐브에서 모든 '회전'은 4-순환이며 홀순열입니다. 엣지와 코너에 모두 해당하죠. 이 상태에서 회전을 한 번 더 하면 어떻게 될까요? 홀순열에 홀순열을 더했으니 짝순열이 됩니다. 따라서 맞춰진 상태에서 4-순환을 홀수 번 적용하면 홀순열이 되고, 짝수 번 적용하면 짝순열이 됩니다. 그런데 한 회전은 엣지 조각과 코너 조각에 각각 4-순환을 한 번 적용시키는 것이기 때문에, 결론적으로 엣지와 코너 각각의 순열성은 맞춰진 상태에서 홀수 번 회전하면 홀순열이 되고, 짝수 번 회전하면 짝순열이 됩니다. 홀순열과 짝순열은 서로 구분되기 때문에 홀순열 상황은 항상 홀수 번의 회전으로만 해결할 수 있고 짝순열 상황은 항상 짝수 번의 회전으로만 해결할 수 있습니다.
3) 결론
위에서 증명한 것은 큐브에서는 이러이러한 상황만이 나올 수 있다는 것입니다. 조금만 다르게 생각하면 그런 상황이 아닌 경우는 나올 수 없다는 것이므로 이것을 이용해서 제일 위에서 보여줬던 4개의 상황이 나올 수 없다는 것을 증명해봅시다.
그림을 다시 한번 보겠습니다. 첫 번째 그림은 코너 조각이 돌아간 각도를 모두 더하면 반시계 방향 120도(다르게 말하자면, 코너 조각에 부여한 수를 모두 곱했을 때 ω)입니다. 하지만 위에서 살펴본 바와 같이 코너 조각들이 돌아간 각도를 모두 더하면 항상 0도이므로, 위 상황은 발생하지 않는 상황입니다.
두 번째 그림은 1개의 엣지 조각의 방향이 잘못되어 있습니다. 하지만 위에서 살펴본 바와 같이 엣지 조각들은 항상 짝수 개의 조각만 방향성이 잘못되어 있을 수 있으므로, 위 상황은 발생하지 않는 상황입니다.
세 번째 그림은 엣지 조각에는 1번의 교환이 발생하였으며 코너 조각에는 발생하지 않았습니다. 반대로 네 번째 그림은 엣지 조각에는 교환이 발생하지 않았으나 코너 조각에는 1개 발생하였습니다. 하지만 위에서 살펴본 바에 따르면 한 회전은 엣지 조각에도 홀수 개의 교환을 발생시키고 코너 조각에도 홀수 개의 교환을 발생시키므로 엣지 순열과 코너 순열은 홀짝성이 항상 같을 수밖에 없습니다. 회전을 홀수 번 했으면 둘 다 홀순열, 짝수 번 했으면 둘 다 짝순열이지요. 따라서 위 두 상황은 발생하지 않는 상황입니다.
3-1) 왜 발생하는가
위와 같은 불가능한 상황을 마주하게 되는 이유는 우리가 위에서 정의한 '회전'이라는 방법을 사용하지 않고 큐브를 조작했기 때문입니다. 가장 대표적인 게 분해 후 조립 과정에서 문제가 생겼을 수 있고 센터캡을 잘못된 자리에 끼우는 경우도 있죠. 코너 조각의 경우 고성능 큐브들의 구조적인 특징 때문에 과격한 회전을 할 경우 조각이 혼자 돌아가는 경우가 생기기도 합니다. 즉 분해하지 않고 코너 조각이 돌아가지 않도록 조심스럽게 돌린다면 위와 같은 상황은 절대 일어날 수 없습니다.
4) 해결은 어떻게?
위 링크 게시글과 글에 있는 영상에서 해결방법을 제시합니다.
이 중 퍼뮤테이션에 문제가 생긴 상황에 대한 해결법으로 센터 캡을 빼서 옆으로 옮겨 끼우는 방법을 제시했는데 이 방법이 가능한 이유를 설명드리면 센터 캡의 위치를 바꾼 뒤 시점을 옮겨 원래 상태로 바꿔주면 사실상 엣지 조각의 홀순열을 임의로 추가한 것과 같게 됩니다. 그렇게 되면 엣지와 코너의 순열성은 같아지게 되므로 큐브를 맞출 수 있게 되며 4x4x4 큐브 바토토끼이빨 예외형도 동일한 방법으로 해결이 가능합니다.
