AI시대를 위한 기초 수학 4
유리(rational) 수, 무리(irrational) 수, 실수
“농업 혁명 덕분에 인류가 사용할 수 있는 식량의 총량이 확대된 것은 분명한 사실이지만， 여분의 식량이 곧 더 나은 식사나 더 많은 여유 시간을 의미하지는 않았다. 오히려 인구폭발과 방자한 엘리트를 낳았다. 평균적인 농부는 평균적인 수렵채집인보다 더 열심히 일했으며 그대가로 더 열악한 식사를 했다. 농업혁명은 역사상 최대의 사기였다.” 유발 하라리 저(著) 조현욱 역(譯) 「사피엔스」 (김영사)
사실(Fact)은 어떠한 관점에서 바라보는 가에 따라서 다양한 해석이 가능하다. 유발 하라리는 효율성이라는 관점에서 농업 혁명을 해석한 것이 아닌가 하는 생각이 든다. 적게 일하고 많이 쉬었던 수렴 채집 시절보다, 농작물을 경작한다는 미명 하에 더 많은 노동과 더불어 착취도 있어서 수렴채집시절보다 결코 더 나은 생활은 아니었다는 뜻일 것이다. 하지만, 정착을 했다는 것만으로도 어디에 있을 지도 모르고, 사냥에 성공할 지도 모르는 먹을 것을 찾아 헤매어야 하는 생활에 종지부를 찍은 것만으로도 농업생활은 의미가 있다고 생각한다.
수렵채집 시절과는 달리 농업을 위해서는 상대적으로 많은 사람들이 협업을 해야 했다. 사람들이 많아짐에 따라서 해결해야 할 문제는 복잡해졌을 것이고, 그 중에 가장 대표적인 문제가 바로 분배였을 것이다. 공동으로 얻은 수확물을 공평하게 나눠줘야 하는 것은 많은 사람들로 이뤄진 집단을 유지하는 데 가장 기본적인 문제였을 것이다. 공평하지 않다면 사회는 불안하게 되어질 테니까...
하지만 지금까지 알고 있는 수는 정수...
정수를 이용해서 공평하게 나눠주려고 하다 보니 당연히 딱 떨어지지 않는 상황이 자주 발행했을 것이다.
1. 분수의 탄생과 활용
3개의 빵을 3명에게 나눠주는 문제는 쉽게 해결할 수 있지만, 빵 3개를 4명에게 나눠주려면 어떻게 해야 할까? 이런 문제를 이집트 사람은 분수를 이용해서 해결했다고 한다.
빵 2개를 반으로 잘라서 4명에게 나눠준다. 나머지 빵 하나는 4 등분하여 나눠주면 된다.
< 빵 3개를 4명에게 공평하게 나눠 주는 방법 >결국 정수를 정수로 나눠주는 형태가 나타날 수 밖에 없었으며, 새롭게 탄생한 수의 형태를 분수(fraction)이라고 정의하게 되었다. 분수를 잘 살펴보면 식을 수의 형태로 표현한 것임을 알 수 있다.
3개의 빵을 4명에게 나눠준다면 각자의 몫은 얼마나 될까? 이를 식으로 표현하면 3 ÷ 4가 되며, 이를 수로 표현한 것이 바로 3/4이 된다.
3/4을 다시 표현하면 1/2 + 1/4이 된다. 분자가 1인 분수를 단위 분수라고 배웠던 기억은 나는데,기약 분수가 실제 몫을 계산하는데 얼마나 도움이 되는지는 이번에 확인할 수 있었다.
2. 소수의 탄생
분수를 일상생활에 활용하기 시작한 것은 3,000년 전부터 이지만, 소수를 사용하기 시작한 것은 불과 몇 백 년 밖에는 되지 않는다. 십진법이 정착된 것이 12세기라고 하니까 소수가 분수를 대신하기까지는 오랜 세월이 걸렸을 것이다.
소수는 또 다른 불편함을 해소하기 위해서 탄생되었다. 돈을 빌릴 때 지급해야 하는 이자를 계산하는 어려움을 해결하기 위해서 분수를 대신할 수 있는 소수(decimal number)를 활용하였다. (벨기에 시몬 스테빈의 아이디어)
단순이 공정한 몫을 나눠주기 위해 탄생한 분수...
사회가 복잡해지면서 몫을 계산하기 위함이 아닌 이자율을 감안한 이자의 계산...
그리고 십진법의 정착...
이 세 가지가 합쳐서 만들어진 수가 소수인 것이다.
우리(인간)은 자연수를 활용함으로 무한히 큰 수를 표현할 수 있는 능력을 가지고 있었고, 소수를 끌어들임으로써 아주 작은 수를 표현하는 방법까지 알게 된 것이다.
수의 확장은 결국 필요에서 출발했음을 또 한 번 확인할 수 있었다.
3. 유리수와 무리수
분수는 결국 두 정수의 비로 표현할 수 있는 수이다. 자연수도 두 정수의 비로 표현할 수 있으니까, 분수는 자연수, 정수를 포함하는 더 큰 개념의 수가 되는 것이다.
유리수를 rational number라고 하는데, 영어 rational의 의미인 '이성적'이라는 뜻보다는 ratio라는 앞의 글자가 눈에 더 끌린다. 즉 정수의 비로 표현할 수 있는 수인 자연수, 음수, 양수, 0, 분수, 소수를 아우르는 유리수라는 수의 집단을 정의하게 되었다.
피타고라스 학파는 우주는 정수의 비로 표현된다고 믿었다. 그러니 직각 삼각형 세 변의 비율이 정수로 표현되지 않았음을 알았을 때 충격은 상상이 될 만한다. 자기의 신념과 믿음을 바꿔야 했으니...
정수의 비로 표현할 수 없는 숫자를 rational의 반대인 irrational number라고 표현한 것이 이해가 되었다.
여기에 원주율, e 같은 초월수까지 포함되면서 수직선상에 크기와 위치를 표현할 수 있는 실수(real number)까지 수가 확대된 것이다.
실수(real number) = 유리수 + 무리수
중학교에 배웠던 이 단순한 포함 관계가 정말 단순하지 않았고, 많은 사람들의 노력에 의해서 만들어졌음을 알 수 있었고, 그 위에 우리의 삶이 이뤄지고 있음에 감사함도 느꼈다.
이제 하나 남았다.
허수(imaginary number)...
