벡터의 수학적 표현

벡터의 언어

지난 1회차에 이어 오늘은 조금의 수식과 함께 벡터에 대해 알아본다.

벡터는 물리하고 수학에서 표현하는 방법이 조금 다르다. 물리에서는 화살표의 형태로 벡터를 표현하는 한편, 수학에서는 좌표로 벡터를 표현한다. 이외에도 한~두가지 정도의 표현방법이 더 있으나 거기까지 가지는 않겠다.

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물리학에서...

지난 1편에서 우리는 벡터가 양과 "방향"을 가진 값이라는 것을 정리했다. "방향"이라는 키워드에서 화살표가 나오는 것은 매우 자연스러운 흐름일 것이다. 물리학에서 벡터는 두 개의 점 사이를 연결하는 화살표로 표현된다. 이때, 화살표의 시작점을 시점, 종착점을 종점이라 한다. 당연히 화살표의 방향은 시점에서 종점을 가리키는 방향이 된다. 아래의 예시를 보며 이것을 이해해보자.

위의 경우에서 A가 시점, B가 종점이 되는 것이다. 이 화살표는 속도가 되기도 했다가 힘이 되기도 했다가 가속도가 되고 했다가... 이렇게 정말 다양한 개념이 될 수 있다.

이때, 위의 화살표를 기호로 간단히 나타내는 방식은 크게 두 가지가 있는데, 위의 이미지에 그 두 방식이 다 나타나 있다. 위처럼 시점과 종점이 각각 알파벳 하나로 지정되어 있을 때, 시점 -> 종점 의 순서로 해당되는 알파벳을 적고, 위에 화살표를 그려 벡터를 표시한다.

이때, 언제나 시점이 왼쪽, 종점이 오른쪽에 오게 적어야 한다.

또 하나의 방식은 이러한 벡터에다 소문자 알파벳 이름을 하나 부여하는 것이다. 예를 들어 위의 이미지에서는 해당 벡터를 소문자 a로 명명하고 표기를

라 하였다.

현재까지 언급한 방법이 물리에서 벡터를 표현하는 방법이다.

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수학에서...

물론! 수학에서도 물리에서 쓰는 벡터 표현방법을 쓴다. 또, 수학에서도 물리에서 쓰는 벡터 표현방법을 역시 사용한다. 다만 주로 쓰는 방법이 다르다는 것일 뿐이다. 이제는 수학에서 벡터를 표현하는 가장 일반적인 방법을 소개할 것이다.

그 방법은 흔히 "위치벡터"라 불리는 표현법이다.

앞서 우리는 벡터가 시점에서 종점으로 가는 화살표라고 이해를 해보았다. 이제부터 우리는 시점과 종점을 "좌표평면" 위의 점들로 옮겨갈 것이다. 이때! 언제나 시점을 좌표평면 위의 원점(0,0)으로 생각할 것이다.

즉 벡터란 언제나 원점에서 뻗어나가는 화살표가 되는 것이다.

왜 굳이 시점을 하나로 정해놓는 것일까?

그 이유는 간단하다. 그것은 귀차니즘 때문이다.

수학자들은 흔히 같은 것을 여러번 적고 싶어하지 않는다. 축약하거나 생략할 수 있으면 최대한 그렇게 하려고 노력한다.

벡터도 마찬가지이다. 언제나 시점을 원점으로 하기로 정한 순간, 시점을 매번 표시할 필요가 없어진 것이다.

가령 언제나 서울을 출발지로 둔다고 하면, "부산까지 5시간" "대전까지 3시간"... 이렇게 도착지만 명시를 하면 되는 것과 매우 유사한 상황이다.

방금 내가 "도착지"만 명시를 하면 된다고 하였다. 즉 최소한, 도착지(=종점)는 명시를 해야 하는 것이다. 이때 이 종점 역시 좌표평면 위의 점일 것이므로 가령 (2,3) 이렇게 표시가 가능할 것이다.

결론적으로 언제나 시점이 (0,0)이기에 우리는 언제나 종점만을 표현할 것이고 이 종점의 정보가 곧 벡터의 정체성이 된다는 것이다. 벡터는 곧 종점이오, 종점은 곧 벡터이니라...

예시를 보자.

< 2,3 > 라고 표현된 벡터가 있다.

*참고로, ( ) 기호 대신 < > 기호를 많이 사용한다.*

해당 벡터는 (0,0)에서 (2,3)을 향하는 벡터이다. 이미지로 보면 아래와 같다.

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오늘은 이렇게 벡터의 수학적 표현에 대해 정리해 보았다. 다음 회차부터는 벡터라는 새로운 개념을 가지고 어떻게 연산(덧셈, 뺄셈)을 하는지 다루어 보겠다.