생성문법 이론과 양자상태
생성문법 이론의 수학적 구조와 양자 스핀 기술의 유사성에 관하여
2022년 8월 생성문법과 양자표현법의 관계연구 :
생성문법 이론의 수학적 구조와 양자 스핀 기술의 유사성에 관하여
제1장 에필로그
모든 언어에는 규칙이 있고 그러한 언어의 규칙은 문법이 된다. 그러한 문법 안에 수학적 구조에 해당하는 규칙이 존재한다는 사실이 최근 연구를 통해 알려진 바 있다. 관련 연구를 통해 생성문법에 서 논의된 문장 생성의 방식이 수학적 행렬의 구조로 설명될 수 있음은 인간 언어의 수리적 이해가 가능할 수 있다는 근거로 작용하였다. 본 논문에서는 그러한 생성문법 이론에서 제안된 수학적 구조 를 재 해석하고 이를 양자역학에서 흔히 볼 수 있는 양자 스핀 기술법과의 비교를 시도해 본다. 이를 통해 생성문법의 구조를 보여주는 통사적 행렬의 관계식이 양자 스핀을 기술하는 행렬과 마찬가지로 군(Group)을 형성한다는 것을 소개하며 또한 복잡한 어학적 구조가 간단한 조합의 법칙으로부터 나 올 수 있음에 관하여 논한다.
제2장 언어의 수학적 구조에 관하여
인간이 의사소통을 위해 사용하는 언어 법칙이 물질의 생성 원리를 관장하는 자연 법칙으로 설명될 수 있음을 증명할 수 있을까? 다소 추상적일 수 있는 그러한 질문은 인간의 사고 방식을 지배하는 언어라는 것이 결국 궁극적으로는 물리법칙을 따르는 인간의 사고 기능을 통해 발현되었다고 하는 아주 단순화된 생각에서 주어질 수 있다. 물론 그러한 질문에 정확 한 답을 하기 위해서는 수많은 단계에서의 엄밀한 논의가 이루어져야 한다. 하지만 만일 위에서 던진 질문에 대한 긍정적 대답이 가능하다면 언어의 규칙과 물리계의 자연 법칙 사이에는 일정정도 유사성이 존재한다는 논증을 시도해 볼 수도 있을 것이다.
인간의 언어를 구성하는 방식에는 일정한 법칙이 존재한다는 사실은 이미 잘 알려져 있다. 모든 언어에는 그러한 법칙에 해당하는 문법이라는 것이 있으며, 주어진 언어의 문장이 그러 한 문법 내에서 구성되었을때 올바른 방식의 의사소통이 이루어질 수 있다. 그러한 문법의 형성이 매우 단순한 구조로부터 나올 수 있다고 하는 생각은 일찍이 촘스키 교수의 최소주의 이론(Minimalistic Program)을 기반으로 하는 생성문법(Generative Grammar)에서 그 기원을 찾을 수 있다 [1]. 그의 생성문법 이론을 통해 일찍이 언어의 구조가 어떻게 현재의 모양을 하게 되었으며 또한 언어 생성에 있어 어떤 다른 이론이 존재할 수 있는지에 대한 다양한 질문 과 그 답을 던진 바 있다.
더 나아가 행렬 통사론(Matrix Syntax)에서는 문장구조 생성방식을 설명하기 위한 생성문 법의 가정으로부터 최소 공리의 수학적 표현을 이끌어 내고 이를 통해 전형적인 문법 모형의 제시가 가능함을 보인다 [3]. 행렬 통사론의 기본이 되는 생성문법에서는 문장을 구성하는 최소 요소인 단어의 경우 그 성질이 명사성 (nounness)과 동사성 (verbness)으로 구분되며 그 구분된 성질의 조합에 따라 모든 단어는 네 가지의 다른 종류의 성질을 갖는 요소로 분류된다고 설명한다. 아래에서 더 자세히 알아보겠지만, 네가지 다른 종류의 성질을 가진 단어들의 결합을 통해 만들어지는 구(phrase)도 같은 방식의 네가지 서로 다른 종류로 분류될 수 있다. 그러한 구들의 연속적 결합을 통해 문장(sentence)이 형성되고 문장들의 나열을 통해 언어의 구성이 이루어질 수 있다는 이론이 생성문법의 핵심이다. 그러한 생성문법은 현재 언어학의 가장 기본적인 문법체계를 설명하는 이론으로 자리잡고 있다.
생성문법에서 이야기하는 문장구성요소에 대한 설명이 명사성과 동사성이라는 단순한 분류법으로부터 가능하다는 사실은 시사하는 바가 크다. 특히 그러한 단어 성질에 대한 분류법은 문장의 구성 요소인 단어라는 것이 물리학에서 나오는 전하의 종류를 나타내는 양과 음과 같은 간단한 개념의 조합으로 치환될 수 있다고 하는 설명을 가능하게 한다. 그러한 설명은 복잡한 언어와 문장의 구조를 매우 효과적으로 분석할 수 있도록 도와준다. 더 나아가 그러한 분석 방법과 문장구조의 형성 방식은 수학에서 자주 사용하는 행렬의 방식으로 표현되어 언어의 문장 구조가 효과적으로 설명될 수 있다고 하는 것이 행렬 통사론을 통해 알려지게 되었다 [3]. 이를 통해 인간의 언어가 자연과학에서 자주 차용하는 수리 논리적인 방식의 새 로운 접근법으로 이해될 수 있다고 하는 희망을 갖게 한다.
양자역학에서 이야기하는 입자의 스핀은 고전적인 대전 입자에 의한 자기장 형성 모델과는 다르게 파울리 배타원리를 만족하는 종류의 입자가 가진 성질로 잘 알려져 있다. 그러한 스핀은 삼차원 공간 상에서 양자화 되어 있으며 특정한 측정 방향에 대한 하이젠베르크 불확정성 원리가 적용되는 방식으로 존재한다 [4,5]. 그러한 시스템의 물리상태 구조 역시 행렬을 통해 표현될 수 있으며 다양한 방식으로 일반화될 수 있다. 특히 스핀을 나타내는 양자 상태는 주어진 행렬의 고유 벡터(eigenvector)로 표현되며 그 벡터의 요소는 측정을 통해 나타나는 스핀 값의 측정 빈도와 연결된다.
시간에 따른 고유벡터의 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 방식으로 진화하는데 그 변화는 스핀에 주어지는 위치 퍼텐셜에 의해 영향을 받는다. 스핀1/2 상태를 표현하는 행렬식의 수학적 구조를 생성문법에서 논의된 문장구성 요소에 대한 행렬 통사론으로 해석하는 방식과 비교하였을 때 어떠한 유사점과 차이점이 있는지를 본 논문에서는 비교하고자 한다. 그 행렬 구성 방식은 동일하지는 않지만 양자역학에서 핵심적인 현상인 스핀의 기술법이 문장 구성요소의 행렬표현법과 유사성이 있을 수 있다는 사실은 그 자체로 매우 흥미롭다. 현재까지의 관찰을 통해 얻어진 결론은 각 이론에 사용되는 행렬들의 구성은 군 (Group)을 이루며 재귀적인 성질이 있다는 사실이며 여기에 행렬 통사론을 통해 주어지는 행렬집합의 구조는 파울리 스핀을 표현하는 행렬들을 포함하는 형태가 된다. 이를 통해 문장구조를 설명하기 위한 행렬요소들의 집합은 양자스핀 상태 측정의 행렬 표현을 포함하는 더 큰 수학적 구조를 가지고 있음을 알 수 있다.
그 글의 목적이 문법을 표현할 수 있는 수학적 방법론의 완결된 형식을 제시하거나 언어의 규칙이 물리법칙을 따름을 증명하려는 것은 전혀 아니다. 그러한 논리적 전개를 위해서는 수많은 단계의 엄밀한 증명이 필요하고 그러한 모든 단계를 짚어보는 것은 본 논의의 범위를 훨씬 넘어가는 일이다. 단지 본 논문은 이미 알려진 언어의 법칙을 표현하는 생성문법의 구 조가 어떻게 수학적 방식으로 표현될 수 있는지를 살펴보며 그렇게 표현된 구조가 양자역학 에서 이야기하는 스핀의 행렬적 표현법과 어떠한 유사성이나 차이가 있는지를 짚어보는데 국한한다. 여기서 논의된 유사성은 언어의 생성 방식이나 법칙을 유도하지 않으며 인간의 사 고 방식과 물리법칙을 연결하는 어떠한 고리도 제공하지 않는다. 단지 그러한 비교는 언어 법칙의 표현법 내에 존재하는 일정한 규칙이 수학적으로 정형화될 수 있는 방법이 존재한다 는 것을 보이고 이를 통해 수학적 구조가 자연법칙을 기술하는데 사용되는 것과 같은 방식으 로 언어의 법칙에도 적용될 수 있는 가능성이 보여주게 된다. 이를 통해 매우 복잡한 언어 속 문장 구조가 객관적 방식으로 설명될 수 있는 단초를 제공할 수 있음을 소개한다.
제3장 생성문법의 수학적 구조 -촘스키 행렬에 관하여
인간이 사용하는 모든 언어에서 나오는 문장(sentence)은 그 문장을 구성하는 구(phrase) 로 되어 있으며 모든 구는 그 기본 요소인 단어(word)들로 구성된다. 이는 마치 세상의 모든 물질이 분자로 구성되어 있으며 분자는 원자들의 조합으로 구성되어 있는 것에 비길 수 있다. 물론 가능한 단어의 숫자와 원자의 종류는 비교할 수 없이 다르며 언어적 조합의 경우 수는 물질의 종류의 수와는 비교할 수도 없이 많다.
일반적으로 모든 단어들은 명사, 동사, 형용사 그리고 그 외 (전치사 등)으로 분류될 수 있 다는 것이 생성문법의 최소주의 이론의 견해이다. 이 경우 명사는 명사성이 극대화되는 성질 이 있고 동시에 동사성이 극소화 되어 있으며, 그와는 반대로 동사의 경우 명사성이 극소화 되고 동사성이 극대화되어 있다. 또한 형용사의 경우 명사성과 동사성을 한꺼번에 가지고 있 는 단어의 형식으로 생각될 수 있으며 그 외의 단어들은 모두 명사성과 동사성이 모두 결여 된 단어라고 할 수 있다는 것이다. 이를 요약하여 개별적 단어들의 성질을 수학에서 이야기 하는 벡터를 통해 표현해 보면, 명사=(명사성 − 동사성 ), 동사=(−명사성 동사성 ),형용사=(명사성 동사성 ), 그외=(−명사성 −동사성 ) 와 같이 주어질 수 있으며 여기에서 명사성과 동사성은 각 단어가 가질 수 있는 정적 혹은 동 적인 성질을 표시한다고 할 수 있다. 음의 부호는 각 단어들의 성질의 반대되는 성향을 나타 낸다. 위와 같이 문장에서 나타내는 단어들은 얼마만큼의 명사성과 동사성을 가지고 있느냐 에 따라 네가지 서로 다른 형식을 취할 수 있다.
위의 네가지 다른 형식의 단어들을 표현하는데 다음과 같은 몇 단계를 통해 구성할 수 있 다. 먼저 명사성은 1로 표현하고 동사성은 수학의 복소수에 해당하는 �로 표현한다. 이를 통 해 문장에서 나오는 단어들은 일정 어휘에 범주(lexical category)에 속하는 네 개의 행렬로 명사=( 1 0 0 −� ) , 동사=(−1 0 0 � ), 형용사=( 1 0 0 � ) , 그외=(−1 0 0 −� ) 와 같이 표현될 수 있다. 이를 촘스키 행렬이라 부른다. 이때 우리는 위 행렬들을 명사는 N (noun), 동사는 V (verb), 형용사는 A (adjective) 그리고 그외는 P (pre/post position)으로 나 타낼 수 있으며 아래에서는 위 기호를 쓰도록 한다. 위 행렬들은 어휘들 사이에 주종관계(head-complement)의 결합을 통해 구(lexical phrase) 가 구성된다는 어휘 결합 모형을 설명하는데 차용된다. 즉 촘스키의 이론에 따르면, 위 행렬 로 분류된 어휘들은 다른 어휘와의 결합을 통해 하나의 구를 만들고 그 구들은 또 다른 어휘 나 구들 과의 병렬적 결합을 통해 새로운 구를 만든다. 그러한 구는 네 개의 명사구, 동사구, 형용사구 혹은 전치사구 들 중 하나의 범주에 속하게 되며 그러한 구들은 그들 간의 연속적 결합을 통해 같은 범주의 구 중 하나를 만든다.
그러한 구는 종국적으로 투사(Projection)을 통해 문장(sentence)를 이루게 된다고 하는 것이 생성문법의 이론이다. 예를 들어 철수는 영희를 좋아한다. 라는 문장이 있다고 하자. 이때 “영희를”은 명사구를 이루며 “영희를”은 “좋아한다”라는 동사 와 결합하여 동사구를 형성하게 된다. 형성된 동사구는 “철수는”이라는 명사에 의해 투사 (projection)되어 하나의 문장을 이룬다. 이를 통해 단어들 사이의 병합(Merge)과 최종적인 문장을 형성하는 투사(projection)-혹은 연결 (anchoring)-는 통사적 어휘들에 의한 문장이 구 성되는 기본 규칙에 대한 설명을 제공한다.
이때 명사가 동사를 만나 동사구를 형성하는 방식 뿐 아니라 명사가 형용사를 만나 형용사 구를 형성하는 것과 같은 병합 관계식은 생성문법의 중요한 내용의 일부이다. 그러한 병합 관계식은 행렬에 의한 구의 변환관계로 나타낼 수 있다는 것이 행렬 통사론의 핵심이다. 구 의 네가지 존재 방식, 명사구(NP : noun phrase), 동사구(VP : verb phrase), 형용사구 (AP : adjective phrase) 및 전치사구(PP : pre/post-positional phrase)는 명사(N), 동사(V), 형용사 (A), 그외 (P)에 속하는 단어들 과의 병합과정을 통해 새로운 구를 만들어낸다. 그러한 관계식 은 P(NP)=PP , V(NP)=VP , N(PP)=NP , A(PP)= AP 와 같이 요약될 수 있으며 이를 행렬 관계식으로 표현할 수 있다.
그러한 관계식을 행렬의 연산으로 표현하기 위해서 먼저 명사구의 행렬표현을 투사(projection)에 의한 명사구의 행 렬로 먼저 나타내면, 명사구를 나타내는 행렬 NP는 � �� =( 1 0 0 −1) 와 같이 표현될 수 있다. 이는 명사를 나타내는 행렬의 제곱으로부터 유도될 수 있는데 이는 명사구가 명사 자체로 형성되는 구이기 때문이다. 그러한 명사구를 나타내는 행렬에 동사를 더하여 병합하면 그러한 행렬은 동사구를 이루는데 이는 � � ∗�� =(−1 0 0 � )( 1 0 0 −1)=(−1 0 0 −� )=�� 와 같이 나타낼 수 있다.
같은 방식으로 전치사구를 나타내는 행렬과 형용사구를 나타내는 행렬들을 모두 구할 수 있는데 이를 통해 각 구, 즉 명사구, 동사구, 형용사구, 전치사구를 나 타내는 행렬들의 집합은 � �� ={( 1 0 0 −1),(−1 0 �� ={( 1 0 0 1)} ��={( 1 0 0 � ),(−1 0 0 −� ),(−1 0 0 � )} ��={( 1 0 0 −� )} 0 1),(−1 0 0 −1)} 와 같이 표현되어 질 수 있으며 그 변환식은 병합의 법칙을 따르게 됨을 보일 수 있다. 이때 각 구를 표현하는 {명사구,동사구,전지차수,형용사구 }={��,��,��,��} 행렬들의 행렬식 (determinant)은 각각 {−1,�,−�,1} 와 같이 나타내 질 수 있다. 이렇게 문장 내에서 구분되는 통사적 구들은 서로 다른 행렬로 표현이 가능하다.
또한 그들은 병합의 과정을 거쳐 새로운 구를 형성하게 되는데 그러한 병합의 과정의 경우도 행렬 변환식을 통해 표현이 가능함을 보 일 수 있다. 특히 그러한 행렬들의 변환은 재귀적인 구조 -즉 서로 다른 두 행렬의 곱이 주어 진 행렬 중 하나가 되는- 형태를 띄게 되며 이는 소위 행렬의 집합에서 이야기하는 수학적 구조 중 하나인 군(group)을 이룬다는 것을 보일 수 있다. 수학적 기호로써 표현되는 통사적 구들의 행렬들은 � �� =±� , �� =±�1 , �� =±�2 , �� =±1 의 형태를 띄며 이때 기호가 나타내는 행렬들은 집합의 형태로 {�, �1,�2,1} = {( 1 0 0 −1),( 1 0 0 � ),( 1 0 0 −� ),( 1 0 0 1)} 와 같이 나타낼 수 있다.
위에서 주어지는 행렬들의 집합은 군(group)을 이루게 되는 것을 쉽 게 확인할 수 있다. 어떠한 집합이 군을 이룬다고 하면 그 집합의 구성 요소들 사이에 정해진 연산을 통한 결과 역시 그 집합의 원소가 된다는 뜻이다. 이와같이 생성문법에서 이야기하는 어휘를 통한 구의 형성과 그를 통해 나타나는 문장형성의 법칙은, 행렬식을 통해 표현되는 구의 변환 관계식과 일대일 대응관계를 갖게 됨을 보일 수 있다. 또한 이를 통해 문장 내에서 나타나는 구의 언어적 범주가 행렬식의 복소수의 위상으로 표현될 수 있음도 보일 수 있다.
제4장 양자스핀의 기술과 불확정성의 원리
양자 역학에서 이야기하는 스핀이라는 것은 불 균일한 자기장에 반응하는 원자 혹은 양자 입자의 내부 상태를 말한다. 특히 스핀 1/2 원자의 경우 불 균일 한 자기장을 수직 방향으로 통과하였을 때 그 운동 경로가 자기장이 주어지는 방향의 위 혹은 아래로 일정 정도 휘게 되 는데 그러한 현상을 통해 스핀 내부 상태를 검출할 수 있다. 이는 오븐(oven)을 통해 분출된 은(Silver) 원자가 불 균일 자기장에 반응하여 그 이동 경로가 휘게 되는 현상의 실험적 관측 을 통해 최초로 밝혀졌으며 슈테른-게를라흐 (Stern-Gerlach) 실험으로 유명하다 [5]. 이는 양 자 입자의 내부구조 때문에 나타나는 현상으로 일반적으로는 전자 자체나 혹은 원자의 최 외곽에 존재하는 전자가 가지고 있는 성질 때문에 발현된다.
그러한 현상이 특별한 이유는 스핀1/2 상태의 측정을 위해 마련한 불균일 자기장의 방향 이 측정행위에 영향을 받는다는 점 때문이다. 특히 스핀입자 운동방향의 수직한 방향으로 자기장의 방향을 회전시키는 경우 원자 자체의 스핀 상태에 관계없이 그 축의 회전 방향을 따라서 스핀의 검출 방향이 변한다는 사실은 스핀 상태가 측정방향에 의해 영향을 받게 됨을 말해준다. 그러한 현상은 양자 역학적 법칙을 따르는 입자의 경우 삼차원 공간 내 외부 자기 장에 반응하는 내부 상태라는 것이 절대적인 방식으로 존재하지 않으며 측정 방식에 따라 그 방향이 바뀔 수 있다는 사실을 말해준다.이는 양자 역학적 입자의 존재 방식이 매우 특별하 다는 것을 의미한다 [5].
그러한 스핀 상태를 수학적으로 표현하기위해 물리학자들은 파울리 (Pauli)의 스핀 행렬을 사용한다 [4,5]. 파울리 스핀 행렬은 3개의 교환법칙이 성립하지 않는 2*2 행렬과 1개의 단위 행렬을 사용한다. 그 모양은 스핀의 방향성을 나타내는 기저를 따라 � �� = ( 0 1 1 0) , �� =( 0 −� � 0 ), �� = ( 1 0 0 −1) , 1 =( 1 0 0 1) 와 같이 각각 주어진다. 위 행렬의 의미는 각각 스핀1/2의 양자 상태를 x, y, z 방향으로 측정 하였을 때 주어지는 스핀 측정을 의미한다. 양자역학적 체계에서는 행렬의 꼴로 주어지는 연 산자 (operator)라는 것은 특정 물리량의 측정 행위를 의미한다. 이 경우에 있어 연산자는 주어진 축 방향의 스핀 값의 측정 행위를 나타내며, 측정을 통해 얻어지는 스핀의 값은 통계적인 방식으로 주어진다.
이 경우 행렬의 평균값은 각각 다른 스핀의 측정 결과, 스핀 업 혹은 다운으로 얻어지는 검출 빈도 수의 차이를 규격화한 값으로 주어진다. 예를 들어 특정 스핀 1/2 양자상태를 z 방향으로 측정하였을 때 그 스핀 방향의 평균값은 ⟨��⟩ = ⟨�|( 1 0 0 −1)|�⟩ = �↑−�↓ 와 같이 나타나며 여기서 �↑과 �↓ 는 각각 z 방향의 스핀 측정을 통해 스핀 업이 검출될 확률 과 스핀 다운이 검출될 확률을 나타낸다. 또한 그러한 스핀 측정 연산자 행렬은 그 측정 방향이 바뀜에 따라 그 측정 방향 축을 의미하는 행렬로 대치될 수 있다. 삼차원 공간 내에서 일반적인 방향의 스핀측정 연산자는 그 방향을 나타내는 벡터 �⃗=(��,��,��) 와 함께 � �⃗ ∙ �⃗ = ���� + ���� +����=( �� �� +��� �� −��� −�� ) 와 같이 표현되며 주어진 벡터 �⃗ 가 단위 벡터 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 일 때 각각 스핀 측정은 x, y, z 방향의 스핀 측정 행렬로 주어진다.
그러한 스핀 측정 행렬들은 각각 그 행렬 곱 연산을 통해 다른 하나의 스핀 측정 행렬로 귀결된다. 즉 스핀 행렬들의 곱의 조합과 그 결과를 살펴보면 � ���� = ���, ���� = ���, ���� = ��� 와 같이 주어진다. 또한 모든 스핀 행렬이 교환법칙을 만족하지는 않는데 이는 � ���� = −����, ���� = −����, ���� = −���� 와 같이 주어짐을 행렬 곱 연산을 통해 확인할 수 있다. 이는 여러 스핀 상태를 같이 측정하는 경우 측정 순서에 따라 그 결과가 달라질 수 있음을 의미한다. 행렬 표현의 입장에서 살펴 보면 두개의 서로 다른 파울리 행렬의 경우 서로 교환 법칙을 만족하지 않는 성질을 가지고 있음을 의미한다. 이는 양자역학적 계에서 주어지는 측정의 특수한 결과로 결정론적 고전 역학적 계의 변수 측정에는 일반적으로는 나타나지 않는 현상이라 할 수 있다.
또한 그러한 스핀1/2 상태는 삼차원 공간 내 방향이 궁극적으로 불확정성을 갖는다. 여기서 불확정성 원리라는 것은 두 개 방향의 스핀 상태를 동시에 정확히 결정할 수 없음을 의미한다. 즉 z 방향 스핀의 크기가 확실히 결정되는 경우 x방향의 스핀과 y방향의 스핀의 크기는 완전히 불확실 해진다는 것을 의미하며 그러한 결과는 ∆��=√⟨��2⟩−⟨��⟩2 상태의 경우 ∆��=√⟨��2⟩ −⟨��⟩2 =1 와 ∆��=√⟨��2⟩−⟨��⟩2 =1 =0이 되는 양자 을 만족하여 x방향의 스핀과 y방향의 스핀을 동시에 측정할 수 없음을 보일 수 있게 된다.
이를 조금 더 일반적인 경우에 대하여 표현하면 ∆��∆�� ≥ 1 2 |⟨�|[��, ��]|�⟩|| (=1, ⟨��⟩ = 1인 상태의 경우) 와 같이 주어진다. 위 부등식은 로벨슨-슈뢰딩거(Robertson-Schrodinger) 불확정성 원리로 잘알려져 있으며 스핀 측정 연산자 뿐 아닌 일반적인 양자상태 측정에도 적용된다 [6]. 위에 서 [,] 기호는 두 연산자의 교환관계를 나타내며 [�,�]=��−��와 같이 정의된다. 이를 통해 행렬로 표현되는 두 측정 연산자가 스핀 연산자와 같이 서로 교환 법칙을 만족하지않는 경우 양자적 불확정성이 원리가 적용됨을 알 수 있다. 여기서는 행렬을 통해 표현되는 양자 스핀1/2 시스템이 삼차원 공간 내에서 불확정성 원리를 만족하는 방식으로 존재함을 보일 수 있고 그러한 스핀 측정 행렬의 집합은 군을 이룬다.
그러한 양자 스핀1/2 상태의 측정을 나타내는 파울리 행렬의 집합은 촘스키 행렬 집합에 비해 교환법칙이 성립하지 않는 원소들의 구성으로 이루어져 있다는 면에서 더 일반적이다. 그러한 교환법칙을 만족하지 않는 원소들의 군을 비가환 군 (Non-abelian)이라 부른다. 양자 스핀의 행렬표현은 촘스키 행렬과 동일한 크기의 집합으로 주어지나 촘스키 행렬에 비해 더 풍부한 구조를 가지고 있어 이를 통해 양자 불확정성 원리에 대한 표현을 가능하게 한다.
다음 장에서는 촘스키 행렬 군과 파울리 행렬 군의 형태에 대한 설명과 함께 생성문법에서 주어지 는 문장구조의 확장된 표현을 위해 더 일반적인 행렬집합이 필요함을 논하고 두 행렬군을 포함하는 촘스키-파울리 행렬 군에 대하여 소개한다.
제5장 생성문법에 나타나는 행렬 통사론과 양자스핀 기술의 비교
생성문법의 기술을 위해 차용한 행렬 통사론의 논의 내용은, 문장에서 나타나는 어휘와 구가 그 성질에 따라 행렬로 표현될 수 있고 거기서 주어지는 어휘들의 결합을 통해 만들어진 구 성질의 변환 역시 행렬 곱의 형태로 주어질 수 있다는 것이다. 그러한 변환을 나타내는 행렬은 네 개의 대각 행렬을 요소로 주어지는데 그 요소들은 군(Group)을 이룬다.
촘스키 행렬이 이루는 군의 형태는 � �8 ≅ �2 ×�4 로 �2 ={1,−1} 과 �4 ={1,�,�1,�2}의 요소로 구성된다. 여기서 주어지는 �8 행렬의 요소들은 모두 대각 행렬의 형태를 가지고 있어 교환법칙을 만족한다. 교환법칙을 만족하는 행렬의 경우 그 구조가 단순하여 불확정성 원리와 같은 새로운 구조를 만들어 내지는 못한다. 하지 만 여기서 구분되는 요소들은 서로 다른 행렬의 형태로 어휘나 구의 제한적 성질들을 나타내며 그러한 어휘나 구들의 조합들 역시 특정 범위 내에서 존재하여 그 성질들이 일정 범위 내에 있다는 사실을 말해준다.
또한 위 행렬이 이루는 군은 추가적인 문장구조를 나타내는 요소 행렬들을 통해 더 풍부한 문장 구조를 설명하는데 기여한다. 생성문법의 기본 요소를 설명하는 촘스키 행렬과 유사하게 양자스핀 구조를 표현하는 파울리스핀 행렬군은 촘스키 행렬의 군과 동일한 크기에 집합을 형성한다. 그러한 파울리군 은 � �� ={1,��,��,��} 와 같은 형태로 주어진다. 이때 z방향 스핀 측정을 의미하는 행렬은 ��=�와 같이 주어진다.
파울리 행렬 군의 요소들은 이전 장에서 살펴본 바와 같이 일반적으로 그 곱이 교환법칙을 만족하지 않는 형태(Non-abelian group)로 주어지며 이를 통해 로벨슨-슈뢰딩거 부등식으로 표현되는 하이젠베르그의 불확정성 원리를 설명할 수 있는 수학적 구조가 주어진다 [5]. 그러한 파울리 행렬 군은 촘스키 행렬 군과 같은 크기의 집합으로 주어지지만 요소 행렬들의 구조에 있어서는 차이를 보인다.
위에서 설명한 촘스키 행렬은 그 요소의 형태가 파울리 행렬과는 많은 차이를 보이며 그 구조가 파울리 행렬에 비해 매우 단순하다. 주어진 촘스키 행렬의 경우 그 주어진 요소만으 로 복잡한 문법을 설명하기에는 부족하다. 여기에 추가적 행렬 요소가 필요한 이유는 언어에 서 문장 구조라는 것이 특정 성질의 어휘나 구 그리고 그들의 단순 결합만으로 그 논리를 다 담아낼 수는 없음이 자명하기 때문이다. 하나의 문장 구성에는 어휘들의 단순한 결합을 넘어 선 규칙들이 필요하다. 그 예로는 시제의 일치, 수의 일치, 수동태나 능동태의 표현 혹은 구의 가능한 위치 혹은 위치 변환 규칙 등과 같이 다양한 문장 규칙이 존재한다. 그러한 규칙들을 담아 내기 위한 추가적인 수학적 구조가 행렬 통사론에 포함되어야 한다.
단어의 결합 규칙을 넘어서는 복잡한 구조를 담아 내기 위해서는 추가적 행렬이 필요하며 그러한 확장은 통사 행렬에 대칭되는 비대각 행렬을 통해 가능하다. 확장 통사행렬을 생성하기 위해 주어질 수 있는 새로운 요소 행렬의 형태는 � �1 = ( 0 1 � 0 ) 와 �2 =( 0 1 −� 0) 같이 비대각 행렬의 모양으로 주어진다. 이때 주어진 행렬이 �8 집합의 요소들과 결합하여 새로운 형태의 행렬 집합이 얻어질 수 있다. 그 확장된 모양은 파울리 스핀 행렬의 형태를 포함하는데 이는 � �1 ×�1 = ��� 와 �1×�2 = �� 가 된다는 사실을 통해 확인할 수 있다. 결국 �1과 �2의 행렬요소들과 �8집합과의 결합은 확장된 행렬 군을 형성하고 그 요소들은 촘스키 행렬에 파울리 스핀행렬을 추가한 형태로 주어 진다. 그렇게 확장된 통사행렬구조는 �8에서 주어진 요소들과 함께 확장된 행렬의 형태로 촘 스키-파울리 군이라고 불리는 수학적 구조를 형성하며 그러한 새로운 행렬 집합은 � ��−� = {±1,±��,±��,±�, ±�1,±�2, ±�1,±�2,±���,±���,±��, ±��1,±��2, ±��1,±��2 } 와 같이 확장된 구조를 갖는다.
위 촘스키-파울리 군은 더욱 풍부한 수학적 구조를 갖게 되며 이를 통해 좀 더 복잡한 구조의 문법적 현상들을 담아낼 수 있다. 그 구조에 대한 자세한 논 의는 참고문헌 [3]에서 주어지며 본 글에서는 생략하도록 한다. 단지 여기서는 위 설명을 통해 주어진 새로운 요소들이 포함된 행렬의 집합이 어떻게 구성될 수 있는 지 살피고 그 하부 구조로 주어지는 촘스키 행렬과 파울리 행렬을 통해 언어에서 주어지는 통사적 구조와 양 자 불확정성 원리에 대한 설명이 이루어질 수 있음을 제시한다. 촘스키-파울리 행렬군을 통해 더 풍부한 구조를 나타내는 문장 구조의 수학적 표현을 얼마나 가능 할 수 있는지에 대한 추가적 설명 역시 참고문헌[3]을 통해 확인할 수 있다.
제6절 결언
본 장에서는 최소주의 이론을 기반으로 하는 생성문법의 행렬 통사론적 표현법에 대하여 살펴보았고 이를 양자역학에서 나오는 양자 스핀1/2 상태의 행렬표현법과 비교해 보았다. 결론적으로 행렬 통사론적 표현의 근간이 되는 촘스키 행렬군은 파울리 양자스핀 행렬군과 비교하여 그 크기는 동일하나 교환법칙이 성립한다는 면에서 그 구조가 좀 더 단순하다는 것을 알 수 있었다.
이는 촘스키 행렬군은 문장내 구성 요소들의 단순한 결합과 그 변환을 표현 하는데 사용될 수 있으나 문법에서 존재하는 다양한 언어구조를 모두 담아내는 데는 한계가 있음도 보일 수 있다. 위에서의 논의를 통해 좀 더 일반적인 형태의 언어구조를 담아 내기 위한 촘스키 행렬의 확장된 행렬요소를 포함하는 행렬집합이 필요함을 알 수 있었다. 이를 위해 확장된 행렬군의 생성가능성에 대하여 논의하였는데 이 경우 촘스키 행렬에 비대칭 행렬을 추가하여 파울리 행렬까지를 포함하는 확장된 행렬집합 군을 생성되고 이를 통해 확장된 행렬집합 생성하는 것이 가능함을 보였다. 즉 촘스키 행렬과 파울리 행렬을 모두 포함하는 일반적 행렬군을 통해 그 구조내에 문장구성 요소들의 결합과 불확정성 원리를 모두 포함하게 될 수 있음을 유도과정을 통해 논의할 수 있었다. 이를 통해 문장의 더 풍부한 구조를 표현하는 수학적 구조가 존재할 수 있음을 확인하고 언어의 수학적 설명이 가능할 수 있음을 제시하게 된다.
참고 문헌
[1] N. Chomsky, A minimalist program for linguistic theory MIT occasional papers in linguistics no. 1. Cambridge, MA: Distributed by MIT Working Papers in Linguistics 1993
[2] N. Chomsky, The Logical Structure of Linguistic Theory, Plenum Press, New York (1975) ; N. Chomsky, Aspects of the Theory of Syntax, Cambridge, Massachusetts: MIT Press (1965)
[3] R. Martin, R. Orus, J. Uriagereka, Towards Matrix Syntax, Catalan Journal of Linguistics Special Issue, (2019) 27p: See also R. Orus, R. Marin and J. Uriagereka, Matematical foundations of matrix, [arXiv: 1710.00372v2[cs. CL] 11 Mar. 2019.
[4] R. Shankar, “Principles of Quantum Mechanics”, 2nd edition, Springer, New York (1994).
[5] 손원민 저, “양자물리학”, 청목출판사, (2018).
[6] H. P. Robertson, "The Uncertainty Principle", Phys. Rev., 34 (1): 163–64 (1929).
