술자리에서 마주한 수학적 의문
친구들과의 술자리, 테이블 위에 놓인 막걸리와 소주를 번갈아 봅니다. 막걸리는 보통 6%, 소주는 18% 정도의 알코올을 함유하고 있죠. 산술적으로 따지면 소주는 막걸리보다 세 배 이상 강합니다. 하지만 실제로 우리가 느끼는 '독함'의 정도가 정확히 세 배일까요? 아마 아닐 겁니다. 소주가 분명 더 강렬하긴 하지만, 우리 뇌가 받아들이는 자극의 크기는 숫자의 배수만큼 정직하게 늘어나지 않습니다.
왜 6%와 18%의 차이는 세 배로 느껴지지 않는 걸까요? 이 질문의 답을 찾으려면 우리는 수학의 골치 아픈 공식이 아닌, 우리 몸이 세상을 받아들이는 방식인 '로그(Logarithm)'를 이해해야 합니다.
우리의 감각이 어떻게 작동하는지 알아보기 위해 소리 이야기를 잠시 해보겠습니다. 아무도 없는 조용한 도서관에서 누군가 옆 사람에게 속삭입니다. 이때 다른 한 명이 추가로 속삭이면 소리의 에너지는 물리적으로 정확히 두 배가 됩니다. 하지만 우리는 '조금 더 들리네?' 정도의 변화로만 인식합니다. 반면, 수천 명이 응원하는 시끄러운 야구장을 상상해 보세요. 거기서 한 사람이 더 소리를 지른다고 해서 전체 소음이 더 커졌다고 느끼는 사람은 아무도 없을 것입니다.
이처럼 인간의 감각은 자극이 약할 때는 작은 변화에도 민감하게 반응하고, 자극이 강해질수록 웬만한 변화에는 둔감해지도록 설계되어 있습니다. 19세기 학자 에른스트 베버와 구스타프 페히너는 이를 공식화하여 '베버-페히너의 법칙(Weber-Fechner Law)'이라 불렀습니다. 그리고 이 법칙의 핵심이 바로 수학의 '로그'입니다.
로그를 한 줄로 정의하면 "어떤 숫자를 만들기 위해 밑수를 몇 번 곱해야 하는가?"를 묻는 연산입니다. 예를 들어, 10을 밑으로 하는 '상용로그'를 기준으로 본다면 다음과 같습니다.
log10 = 1 (10을 1번 곱함)