나른한 토요일 오후, 통계이야기

유튜브를 보다가

나는 통계학과를 나왔다. 하는일은 컴퓨터인데, 통계학과를 나왔다는 이유로 간혹 회사 사람들이 "이런 문제 너도 알고 있어?" 같은 질문을 받을때가 있다. 당연히 대부분 모른다.

그런데 그중에 기억에 남는 문제가 있다. 커피한잔 마시면서 간단히 시작했던 이야기 인데, 그날 하루를 이문제를 푸느라 보냈던 기억이 있는 문제, 그리고 오늘 유튜브로 이것저것 보다가 발견한 그 문제...

퀴즈 푸는걸 좋아 하는 사람들은 한번쯤  "몬티홀" 문제라는 것을 들어 봤을 수도 있다.

세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임쇼에 참가했다. 한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 게임 참가자가 문을 하나 선택한다. (예를 들어 1번 문), 그러면 게임 진행자는 참가자의 선택에 도움을 준다면서 고르지 않은 2개의 문중 하나를 열어서 (예를 들어 3번 문) 문 뒤에 염소가 있음을 보여준다. 그리고 물어본다. 처음 고른 문(1번 문)을 계속 선택할 것인지, 아니면 남은 문 (2번 문)으로 선택을 변경할 것인지? 이때 참가자는 선택을 변경해야 할까? 아니면 원래대로 가만히 있어야 할까?

정답부터 말하자면 바꾸는 게 유리하다.

조금 더 설명하자면 안바꾸면 33.33% 확률 , 바꾸면 66.66% 확률로 자동차가 나온다.

이에대 해서 조금 더 자세한 설명을 보자고 하면 위키피디아나 나무위키로도 충분한 설명이 나온다. 

그런데, 왜 이퀴즈가 나한테 그렇게 특별할까? 사실 이 퀴즈가 기억에 남아서 계속 나를 웃게 해주는 이유는 따로 있다. 사실 이 퀴즈는 중요한 설명이 하나 빠져있다. 몬티홀문제를 설명해 주는 대부분의 자료나 유튜브내용들도 그 설명을 빼먹는 경우가 대부분이다. 그리고 그 빠진 내용에 따라서 바꾸는 것이 33%로 안바꾸는 것과 같은 확률이 될 수도,아니면 바꾸는게 2배 더 좋은 67% 로 올라갈 수도 있다.

그건 진행자가 3번문을 열어줬을때 미리 염소가 있을지 알았나? 하는 설명이다. 이 설명에 따라서 이 문제는 완전히 다른 내용이 된다.

만약 진행자도 문 뒤에 뭐가 있는지 전혀 몰랐다면, 33% 그대로이고,  (방송사고가 날 가능성 역시) , 만약 자동차를 피해서 열었다면 67% 로 바꾸는게 유리해 진다.

만약 2번문에 자동차가 있다고 가정하고, 선택은 다음과 같다.
X는 참가자 선택, Y는 진행자 선택 0는 아무도 선택안함

123

0XY  (바꾸지마)

0YX  => 방송사고

YX0  (바꾸지마)

Y0X  (바꿔)

XY0  => 방송사고

X0Y  (바꿔)

2/6로 바꾸는게 좋고, 2/6로 안바꾸는게 좋고, 2/6로 방송사고다

하지만, 이때에 진행자가 문을 열어주려다가 아차 싶어서 선택을 (몰래) 바꾼다면 

123

0XY  (바꾸지마)

0YX  => Y0X (진행자가 선택을 바꿔 1번문으로 연다) => (바꿔야 자동차)

YX0  (바꾸지마)

Y0X  (바꿔)

XY0  => X0Y (진행자가 선택을 바꿔 3번문으로 연다) => (바꿔야 자동차)

X0Y  (바꿔)

4/6로 바꾸는게 좋고, 2/6으로 안바꾸는게 좋다.

...

...

몇시간을 이런이야기로 떠들었는데,

뭐가 그리 중요했을까?

바꾸든 안바꾸든, 그런 퀴즈쇼에 나갈일도 없을텐데.

그때 같이 커피마시고 같이 퀴즈를 풀면서 같이 떠들던 이들이 그립다.

그렇게 토요일 나른한 오후 시간이 예전추억으로 가득찬다.