베르뜨랑의 역설

[책을 읽고] 장톈룽, <확률로 바라본 수학적 일상> (1)

원의 내부에 임의의 현을 그었을 때, 그 현의 길이가 원에 내접하는 정삼각형의 한 변 길이보다 클 확률은?

상당히 단순한 문제지만, 이 문제에는 무려 역설이라는 이름이 달려 있다.

문제를 풀어보자.

첫 번째 풀이

삼각형의 한 꼭짓점에서 원주의 다른 임의의 점을 연결해서 현을 그린다.

시작점의 바로 옆에서 시작하여 원주를 따라 돌아가며 두 번째 점을 찍는 것이다.

이렇게 하면, 두 번째 점(이동점)이 첫 번째 다른 꼭짓점을 만난 후 두 번째 다른 꼭짓점을 만날 때까지

현의 길이가 삼각형의 한 변보다 길게 된다.

이 구간의 이동점은 원주의 1/3에 해당하므로,

확률은 1/3이다.

두 번째 풀이

원에 내접하는 삼각형을 뒤집어서 한 번 더 그려, 다윗의 별 모양이 되게 하자.

보는 사람 시점에서 수직(또는 수평)인 선에서 다음 수직인 선까지의 길이는 원의 반지름 r과 같다.

즉, 전체 지름의 반이다.

원의 끝에서부터 수직으로 현을 촘촘히 그어 간다고 했을 때,

현이 첫 번째 수직선을 만난 후, 다음 수직선을 만날 때까지, 그 현은 삼각형의 한 변보다 길다.

따라서 현이 정삼각형의 한 변보다 길 확률은 1/2이다.

세 번째 풀이

원에 내접하는 삼각형 안에, 삼각형에 내접하는 또 하나의 작은 원을 그려보자.

작은 원의 반지름은 큰 원 반지름의 1/2이다.

큰 원에 임의의 현을 그었을 때, 그중 작은 원의 내부를 통과하는 현들은 그 길이가 삼각형의 변보다 길다.

작은 원의 면적은 큰 원의 1/4이므로, 확률은 1/4이다.

결론

세 풀이 모두 맞다.

모든 '임의'의 현을 살펴보는 과정이 달랐을 뿐이다.

같은 문제에 대해 정답이 여러 개이니, 역설이란 이름이 붙었다.

그러나, 다시 한번 생각해 보자.

세 가지 풀이는 모두 논리적으로 결함이 없는, 수학적 정답이다.

문제는 문제 그 자체였다.

임의의 현에 대한 정의가 제대로 되어 있지 않아, 문제에 대해 각기 다른 '해석'이 등장했고,

각기 다른 해석은 다른 풀이와 정답을 만들었을 뿐이다.

연습 문제는 이 정도로 하고, 이제 이 책에서 제기하는 진짜 문제로 들어가자.

과연 확률이란 무엇인가?

***계속***