미분은 언제 처음 배우는가?
보통 사람들에게 미분을 언제 처음 배우냐는 질문에 많은 사람은 고등학교때라고 대답을 합니다.
실제로 교과과정으로 볼 때 미분이라는 용어의 시작은 고등학교때가 맞습니다.
하지만 저의 개인적인 의견으로는 실제로 미분이라는 용어를 사용하지 않았을 뿐, 중학교때 처음 미분을 접하는 것이 맞다고 생각합니다.
많은 분들이 아시는 기울기라는 용어로 우리는 처음 미분을 중학교때 접하게 됩니다.
미분과 기울기는 전혀 다른 것이 아니냐는 질문을 많이 들어 봤습니다.
결론만 놓고 본다면 전혀 다른 개념을 수 있습니다. 하지만 미분의 시작은 기울기입니다
|미분의 시작은 평균변화율
고등학교에서 처음 미분을 공부할 때 나오는 개념은 평균변화율입니다.
평균변화율의 정의를 기술해보면 '독립변수의 변화량에 따른 종속변수의 변화량의 비'라고 정의 할 수 있습니다.
이 말을 그대로 수식으로 정리하면 독립변수는 x 이고 종속변수 f(x)라고 하면
이렇게 정의를 할 수 있고, 이 내용이 기울기입니다.
여기 기울기(평균변화율)에 함수의 극한의 개념을 더하면 순간변화율이 되고 이 순간변화율을 미분계수라고도 합니다.
그럼 미분에 대한 개념은 중학교 때 처음 배우는 것이라고 생각할 수 있습니다.
저는 이것을 수학의 확장능력이라고 이야기하는데 우리가 배우는 수학의 대부분은 이렇게 개념을 확장하여 수학적 내용을 설명하는 경우가 많습니다.
이렇게 설명하는 방식은 교과서에서 흔하게 설명하는 방식입니다.
예를 들어보면 사칙연산의 개념을 처음에는 자연수에서 다음은 정수에서 다음은 유리수에서 다음은 허수에서 이렇게 수의 영역을 확장하며 설명을 하여 학생들을 이해시킵니다.
이러한 방식으로 평균변화율에서 순간변화율로 개념을 확장시키고 확장할 때 극한이라는 개념을 적용하여 이해를 하면 미분이라는 정의를 이해하는 능력이 향상됩니다.
|표현들의 변화
위의 내용에서도 알 수 있듯이 수학은 용어의 변화에 적응을 잘 해야 한다고 생각합니다. 미분에서 용어의 변화를 이해할 수 있다면 미분의 의미를 이해하는 것은 쉬운 일이라고 생각합니다.
기울기에서 시작해서 평균변화율, 순간변화율, 미분계수, 도함수로 변화되면서 각각이 갖는 수학적인 의미들을 이해할 수 있다면 미분의 원리를 이해는데 도움이 될 수 있다고 생각합니다.
이런 표현의 변화에 대하여 인지하지 못할 경우 각각 다른 개념을 따로 인식하여 미분을 너무 어렵게 받아드리게 되는 것 같습니다. 실제로 학생들을 가르쳐보면 이런 경우를 많이 봤습니다.
그래서 저는 수학을 가르칠 때 중점을 두는 부분 중에 하나가 용어의 흐름이 어떻게 변화하는지에 대해서 학생들에게 이해를 시킬려고 노력을 합니다. 사실 수학이라는 학문은 같은 내용을 주어진 상황과 조건에 따라 같은 의미의 수학적 표현을 어려운 용어와 복잡한 수식의 표현으로 기술하는 경우가 많이 존재합니다.
그리고 이런 표현의 변화에 대해서 이해를 할 경우 실제로 외워야 하는 공식이 적다는 것을 인지하는 경우가 있어서 수학이라는 학문을 배울 때 조금은 편하게 접근할 수 있을 것이라고 생각합니다.
