베이즈 정리 예제 2문제

베이즈 정리는 조건부 확률을 알고 있을 때 정반대의 조건부 확률을 구하는 방법이다. 확률은 절대적인 사실이 아니라 믿음이라는 점에 착안하여 믿음을 계속 개선시켜나가는 방법이다. 공식은 다음과 같다.

 P(A|B)는 B라는 조건이 주어졌을 때 A가 일어날 확률을 말한다. 베이즈 조건이 유용한 이유는  P(A|B)는 모르지만 그 반대인 P(B|A)는 알 수 있어서 역확률을 구할 수 있기 때문이다. 예컨대, '대출'이라는 단어가 들어 있는 이메일이 스팸일 확률은 얼마일까? 이전까지의 스팸 메일을 살펴보면 된다. 스팸 메일 중 '대출'이란 단어가 얼마나 들어가 있는지 확률을 먼저 알아내고,  베이즈 정리로 역확률을 구하여 문제를 해결한다.

베이즈 정리 나무위키

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베이즈 정리의 예제 2문항

문제1. 코로나 검사에서 양성 판정이 나왔다. 실제로 코로나에 감염되었을 확률은 얼마일까?

조건은 다음 표와 같다. 실제로 코로나에 걸릴 확률은 0.01 (1퍼센트)로 알려져 있다.

답:

위 표는 감염되었을 때 양성판정은 370, 음성판정은 15인것을 나타낸다. 정확도는 370/(370+15) = .961 즉 96.1%이다. 양성판정을 받은 경우, 사람들은 코로나에 걸렸을 확률이 96.1%라고 대답한다. 물론 오답이다. 베이즈 정리로 코로나에 걸렸을 확률을 계산할 수 있다. 공식은 다음과 같다.

P(감염|양성) =P(양성 & 감염) / P(양성)

=P(양성|감염)xP(감염) / {(P(양성|감염)xP(감염)+P(양성|비감염)xP(비감염)}

= (370/385)x0.01 / {(370/385) x 0.01 + (10/170) x0.99}

= 0.40

양성판정을 받았을 경우에도 실제로 코로나에 감염 되었을 확률은 40%이다. (정확도가 상당히 떨어지는 코로나 검사 장치이다.)

파이썬으로는 다음과 같이 계산할 수 있다.

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문제2. 검은 구름이 있다면 비가 올 확률은 얼마일까?

7월, 서울은 덥고 비가 자주 온다. 밖을 보니 검은 구름이 보인다. 비가 내릴까?

통계를 살펴보니, 7월에 비가 오는 날은 30%이다. 비가 오는 날은, 95%의 확률로 아침에 검은 구름이 있었다. 비가 오지 않는 날은, 25%의 확률로 검은 구름이 있었다.

검은 구름이 있다면 비가 올 확률은 얼마일까?

답:

조건부 확률이므로 베이즈 정리를 사용하여 계산한다.

R = 비 올 확률

C= 검은 구름

문제는 P(R|C)이다. 위 문제를 수식화하면 다음과 같다.

P(R) = 0.3

P(C|R) = 0.95

P(C| not R) = 0.25

베이즈 정리를 정리 공식에 대입한다.

P(R | C) = P(R and C) / P(C)   =  P(C | R) P(R) / Pr (C) =  .95 * .30 / P(C)

P(C) = P( C and R) + P(C and not R)  = .95*.30 + P(C | not R) P(not R)  =  .95*.30 + .25*.70 = 0.46  

그러므로, P(R | C ) =  (.95)(.30) / .46 = .619

아침에 검은 구름이 있다면 비올 확률은 61.9%이다.

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2016년 미국 통계학회는 p-value의 사용을 경고했다. p-value는 전통적으로 학자들이 연구 결론을 내리는통계기법이다. 그러나 잘못된 사용과 남용으로 인하여 잘못된 의사결정을 내릴 수 있다. 베이즈 정리는 불확실성을 인정하고 믿음을 계속 개선시켜나가기 때문에, p-value를 사용하는 통계기법 보다 나을 수 있다.