현상을 담는 함수들
선형 함수, 멱함수, 지수함수, 자연로그함수
Quantitive Modeling과 함수 표현
Quantitive modeling(양적 모델링)은 현실 세계를 수치화하며 주로 금융, 경제 현상에 대한 분석을 목적으로 합니다. 복잡한 현실을 이해하고 최적의 의사결정을 내리기 위해서는 언제나 '단순화' 작업이 필요합니다. 이의 극단적 예시 중 하나가 함수입니다. 복잡한 현실 속의 다양한 현상들을 수식으로 표현하기 위해서는 다양한 함수 조합을 사용하게 되는데 선형 함수, 멱함수, 지수함수(자연로그 역함수), 자연로그함수 이렇게 4개 함수가 조합 구성에 가장 큰 역할을 합니다.
1. linear function
가장 단순한 형태입니다. y=ax에서 x가 1만큼 증가하면 y는 항상 a만큼 증가합니다. 소득이 100만 원으로 고정된 채 평생 산다면, 나의 '누적' 소득은 100만 원, 200만 원, 300만 원,... 이렇게 증가하게 됩니다.
현실적으로 이렇게 일정하게 증가하는 데이터는 찾아보기 어렵습니다. 우리는 현실 세계를 더 잘 모사하기 위해 이보다 완만하거나, 가파르기도 한 그래프를 그릴 필요가 있습니다.
2. power function
멱함수는 거듭제곱의 '밑'이 변수인 함수입니다. 그러니까, y=x^m에서 m은 고정된 상수라고 생각하면 되겠습니다. 그리고 이 고정된 상수 m은 y의 절대적인 변화율 x100(%)을 의미하게 됩니다.
y=1^3에서 현재 x는 1이고 m은 3입니다. 만약 여기서 x가 1% 증가한다면 y는 얼마가 증가할까요?
1에서 1% 증가시킨 y=1.01^3로 계산기를 두드려보면 약 1.03이라는 숫자가 나올 것입니다. y는 1에서 1.03으로, 3%가 증가하는 것입니다. 여기서 '3%', 즉 0.03이 y의 절대적인 변화율입니다.
더 나아가서 1% 오른 x(1.01)가 2% 추가로 올랐다면 y는 어떻게 될까요?
1.03^3-1.01^3을 계산해보면 1.09-1.03=0.06입니다. 즉, y는 6%가 더 오르게 됩니다. 이제부터는 상수 m만큼만 오르는 것이 아니라 상수 m의 "x 증가율의 배수"만큼 오르는 것입니다.(m=3, x증가율=2, y증가율=6)
사실 이러한 x와 y의 관계는 x가 1.1 이하의 작은 숫자일수록 정확합니다. 1부터 1.1까지 0.01의 간격으로 채워진 x 배열(Return)과 배열 내 모든 x를 3 배수 한 y 배열을 그래프로 그려보면(파란색 선은 3 배수 한 실제 값, 초록색 선은 절대적 변화율 3배) 1에 가까울수록 절대적 변화율 배수와 매우 근사 해지는 것을 알 수 있습니다.
주로 주식 시장에서 10% 대가 넘는 급등락은 드문 현상이기 때문에 일반적인 계량 분석에 이 모델(함수)이 많이 활용되곤 합니다. 특히 x가 1.1이 넘으면 지수법칙에 따라 y는 매우 급격히 증가하게 되는데, 이러한 현상으로 하여금 10%대 이상의 복리가 엄청난 부를 안겨주게 되는 것입니다. 아래 그래프는 x의 절대적 변화율(%)이 0%에서 90%까지 올라가면서 실제 y의 절대적 변화율(%)이 x 변화율의 3배보다 점점 커지는 것을 보여주고 있습니다.
3. exponential function
밑을 자연상수 e로 하는 지수함수는 y=e^mx로 표현할 수 있습니다. m은 power function과 마찬가지로 특정 상수를 의미한다고 할 때, x가 0.01, 0.02와 같은 절대적인 변화율이라면 y는 1.01, 1.02처럼 상대적인 변화율이 됩니다. e는 2.71828... 인 무리수인데, 0에 가까운 수를 거듭제곱하면 그 결과는 1에 가까운 수로 수렴하는 특징이 있기 때문입니다. 2.71828^(0.0000000001)를 계산기에 입력해보시면 1이 나올 것입니다.
만약 숫자를 조금 더 올려서 2.71828^(0.001)로 계산해보면 약 1.001이 나오고 2.71828^(0.01)을 계산하면 1.01이 나옵니다. 이제 자연상수 e를 수식에 넣은 e^(0.02)는 무엇일까요? 1.02입니다. 이제 y=e^mx를 풀어보면 "x가 1만큼 증가할 때 y는 m% 증가하는 함수"로 이해할 수 있습니다.
m이 0.01, x가 1이라고 해보겠습니다. x가 1 증가하면 mx는 0.02가 되고, y는 1.01에서 1.02가 되므로 y는 1% 증가한 셈입니다. 다시, m이 0.01, x가 1인 상태에서 x가 3 증가하면 mx는 0.04가 되고, y는 1.01에서 1.04가 되므로 3% 증가한 셈이 됩니다. 0.04가 y기준에서 절대적 변화율이라면 1.04는 y 기준에서 상대적 변화율입니다.
exponential function 그래프는 pow function 그래프와 마찬가지로 지수함수 역시 x가 0에 가까울수록(수렴할수록) 앞서 설명한 y~x관계가 더 뚜렷해집니다.
4. log function
여기서 로그함수는 자연상수 e를 밑으로 하는 로그함수를 의미합니다. 이것을 ln(x)로 표현하며 자연로그라고 부릅니다. 로그함수는 지수함수와 x, y가 서로 바뀐 역함수입니다. 그래서 y=e^x에서 x가 절대적 변화율, y가 상대적 변화율을 의미했다면 y=ln(x)에서는 x가 상대적 변화율, y가 절대적 변화율을 의미하게 됩니다.
앞에서 e^0은 1이었습니다.(1에 근사합니다) 그렇다면 ln(1)은 0이 되고, e^0.01은 1.01이었기 때문에 ln(1.01)은 0.01이 됩니다. 이제는 x가 상대적 변화율을 의미하기 때문에 x기준으로 이해해보면, x가 1일 때(상대적으로 100% 그대로일 때) 절대적인 변화율은 ln(1) 즉, 0입니다. 여기서 1% 증가해서 x가 1.01이 된다면 y는 ln(1.01), 즉 0.01입니다. 여기서 x가 2% 더 증가한다면 y는 ln(1.03)으로 0.03이 될 것입니다. 마치 선형 함수처럼 증가하는 모양새인데, 이는 자연로그에서 x가 1일 때 곡선의 경사도가 1이라서 그렇습니다. 이는 매우 중요한 특징입니다.
붉은 점선과 푸른 비선형 곡선이 만나는 지점에서의 기울기는 1입니다. x를 1부터 1.1 사이 30개 숫자 배열에 대한 자연로그 y를 그려보면 놀랍게도 직선처럼 보이는데, 격자선 교차지점을 유의 깊게 보면 사실 직선은 아닙니다.
이렇게 4개의 함수를 살펴봤습니다. 위 함수들은 모두 x와 y의 관계를 표현하기 위해 고안한 방식입니다. 양의 상관관계 혹은 음의 상관관계를 표현하기 위해, 절대적 변화율을 상대적 변화율로 변환하기 위해, 지수를 더 직관적으로 드러내기 위해 등 우리가 경제 사회 지표를 더 쉽게 전달하고 수식화하기 위해 이런 함수들이 사용됩니다.
금융 등 다양한 도메인에서 자연상수나 자연로그가 매우 자주 쓰임에도 왜 이러한 변환처리가 필요한지, 그것이 정확히 어떤 의미인지 직관적으로 이해하기 어려운 경우가 많습니다. 각 함수의 '뉘앙스'를 알고 수식을 본다면 데이터 간의 관계를 이해하는 데에 많은 도움이 되겠습니다.
