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계정을 잊어버리셨나요?

by 이민석 Feb 29. 2024

수학 퀴즈(1)의 이론적 배경 설명

앞선 퀴즈의 배경이 되는 개념을 이야기하고자 한다.

다소 이론적이며 재미없을 수도 있지만, 가끔은 진지한 수학 얘기도 필요하다고 생각한다.

예전에는 “평면분할이론”이라고 했었는데, 다시 검색해 보니, 잘 안 보인다. 아마도 이름이 바뀌었나 보다.
시작은 단순하다.

한 평면이 있고, 그 위에 직선들을 그을 때, 평면을 최대한 많은 수로 분할하는 방법은 무엇인지에 관한 질문이다.

우선, 지금 보이는 화면을 하나의 평면이라고 한다면, 직선을 하나 그어보면 다음과 같다.

직선은 양 끝으로 무한이 뻗어 나가므로, 이 직선에 의해 평면은 둘로 나뉘게 된다. 이번엔 직선 두 개로 하면 어떻게 될까?

이렇게 긋는다면 평면은 3개로 분할된다. 하지만, 질문은 최대한 많은 수로 분할하라고 했으니, 이는 정답이 아니다.

이렇게 하면 두 개의 직선으로 평면을 4개로 분할할 수 있다. 3개보다 4개가 많으니, 이것이 정답이 된다. 조금 더 가보자.

이번엔 3개의 직선으로 분할하면 어떻게 될까?

직선 3개를 위와 같이 그으면 보다시피 평면은 4개 혹은 6개로 분할이 된다. 따라서 6개가 정답이라고 생각할 수 있지만, 아니다, 더 나온다.

그림과 같이 배치한다면 평면은 7개로 분할이 되므로, 이것이 정답이 된다.

그럼 이제 정리해 보자. 어떻게 하면 가장 많은 분할을 만들어 낼 수 있을까?
일일이 다 시도해 볼 수는 없는 노릇이다. 여기에 이론이 있다.

이 개념이 소개된 책에는 다소 어려운 말로 표현이 되어 있는데, 그냥 쉽게 말하자면 새로 긋는 직선은 기존에 그어진 직선과 평행하지 않고, 기존의 교점을 지나지 않으면 된다. 위 직선 3개 그림에서 첫 번째처럼 평행하지 않게, 두 번째 그림처럼 교점 지나지 않게 그린 것이 세 번째 그림인 것이다. 그렇다면, 직선 5개로는 과연 어떻게 하면 될까? 이것이 바로, 앞선 글에 소개된 퀴즈와 연결이 되는 내용이다.

하나하나씩 직선을 그려보면, 먼저 그린 직선과 그 어느 것도 평행하지 않고, 그 어느 것도 이전의 교점을 지나지 않는다.

한 발짝 더, 이렇게 하다 보니 직선이 늘어날수록 새로 만들어지는 교점의 개수와 분할되는 면의 수들 간의 관계에서 일정한 규칙이 보이게 된다. 아래 표를 보자.

아마도 눈치가 빠른 사람은 알아볼 수 있다.

아직 잘 안 보이는 사람들을 위해 표에 화살표를 추가해 본다.

자, 이제 모두들 알아볼 수 있을 것이다. 화살표 흐름대로 더하면 다음 숫자가 나타난다. 이 또한 수열로 연결 지어 설명할 수 있지만, 이쯤 하고.

최대한 간단하게 설명을 하느라고 했으니, 대부분 이해할 수 있으리라 본다. 수업시간에 아이들도 대부분 이해한다. 더 깊이 파고들면 어려운 내용이 많지만. 거기까진 안 가도 사는데 지장 없다. 이 정도만 안다고 해도 도형문제 접근에 이따금씩 도움이 되는 순간들이 있을 수 있다. 예전 tvN 프로그램 중에 “문제적 남자” 가 있었는데, 언젠가 도형문제가 이걸로 풀린 적이 몇 번 있었다.

이로써 지난 퀴즈에 대한 이론적 배경 설명을 마치겠다.

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