6강. 평균 · 분산 · 표준편차
확률로 돈을 번다
5강에서는 정규분포를 배웠습니다.
하루 수익률이 평균 근처에 가장 많이 몰리고, 멀리 벗어날수록 확률이 떨어진다는 ‘종(벨) 모양의 곡선’이었죠. 그 곡선을 결정짓는 핵심 값이 바로 표준편차(σ)였습니다.
표준편차가 크면 그래프가 넓게 퍼지고,
작으면 평균 주변으로 촘촘히 모입니다.
즉, 표준편차는 “얼마나 흔들리는가”를 보여주는 리스크의 크기입니다.
이번 6강에서는 그 표준편차가 어디에서 오는지, 그리고 ‘평균(기대수익률)’과 함께 투자에서 어떻게 읽히는가를 살펴보겠습니다.
1) 평균이란 무엇인가
‘평균’은 여러 값을 하나의 숫자로 요약해 그 집단의 가운데 수준을 보여주는 대표값입니다.
가장 일반적인 형태는 산술평균(Arithmetic Mean) 이죠.
평균 = 모든 값의 합 ÷ 값의 개수
예를 들어, 10, 20, 30, 40, 50의 평균은
(10+20+30+40+50)/5
= 30입니다.
즉, 평균은 데이터 전체를 한 줄로 요약한 중심점입니다.
시험 점수, 연봉, 주가 수익률 등 어떤 현상이 전반적으로 어느 정도 수준인지 파악할 때 쓰입니다.
2) 평균(기대수익률) ― 장기적으로 얼마를 벌 수 있을까?
평균은 단순히 ‘중간값’이 아니라, 시간이 지나면 결국 어디로 수렴할 것인가를 알려줍니다.
확률의 언어로는 기대값(Expected Value) 이라 부르죠.
예를 들어, 동전을 던져 앞면이 나오면 100원을 받고, 뒷면이면 0원을 받는 게임을 생각해봅시다.
앞뒤 확률이 각각 50%라면,
기대값 = 100×0.5 + 0×0.5 = 50원
한두 번은 0원이 나올 수 있지만, 오랫동안 던지면 평균적으로 50원에 가까워집니다.
투자도 마찬가지입니다.
전략: +1% (60%), −1.2% (40%)
기대수익률 = 1%×0.6 + (−1.2%)×0.4 = +0.12%
하루하루는 오르내리지만, 장기적으로는 조금씩 플러스 방향으로 누적됩니다.
이게 바로 기대수익률의 의미입니다.
[보충] 평균과 중간값 ― 왜 평균만 믿으면 착각할까?
“평균 수익률”이라는 말, 사실은 모든 값을 더해 개수로 나눈 값(Mean) 을 말합니다.
그런데 이 평균은 극단적인 값(이상치) 에 매우 민감합니다.
예를 들어, 한 펀드의 5년 수익률이 5%, 6%, 7%, 8%, 60%라면,
평균 수익률: (5+6+7+8+60)/5 = 17.2%
중간값(가운데 값): 7%
대부분의 해가 5~8%였지만, 한 해의 폭등이 평균을 17%로 끌어올린 것입니다.
즉, 평균만 보면 훨씬 좋아 보이지만 실제 체감은 다르죠.
이때 중간값(Median) 은 이런 착시를 막아줍니다. 극단적인 값이 있어도 흔들리지 않기 때문입니다.
3) 분산(Variance) ― 얼마나 들쭉날쭉한가
‘분산’은 데이터가 평균에서 얼마나 멀리 퍼져 있는지를 보여줍니다.
즉, 안정적인가, 요동치는가를 재는 지표입니다.
예를 들어,
A학생: 항상 50점 → 평균 50, 분산 작음
B학생: 0점 또는 100점 → 평균 50, 분산 큼
둘 다 평균은 같지만, A는 안정적이고 B는 불안정합니다.
투자에서도 마찬가지죠. 평균 수익률이 같더라도, 분산이 큰 전략일수록 리스크가 큽니다.
4) 표준편차(Standard Deviation) ― 리스크를 실제 단위로
분산은 제곱된 단위라 감이 잘 안 옵니다.
그래서 제곱근을 취해 원래 단위(%)로 환산한 값이 표준편차입니다.
하루 평균 수익률이 0.1%, 표준편차가 1%라면
대부분의 날은 −0.9% ~ +1.1% 사이에서 움직인다.
이렇게 표시하면 훨씬 이해하기 쉽습니다.
표준편차는 리스크(변동성) 그 자체입니다.
즉, 수익률이 평균에서 얼마나 흔들리는지를 직관적으로 보여줍니다.
5) 엑셀 실습
(데이터 예시: KOSPI200 선물)
항목 수식
평균(기대수익률) =AVERAGE(C3:C1002)
표준편차(변동성) =STDEV.S(C3:C1002)
분산 =VAR.S(C3:C1002)
이렇게 하면 내 전략의 기대수익률과 변동성을 바로 확인할 수 있습니다.
6) 투자 활용 Top 5
변동성(표준편차)
수익률이 평균에서 얼마나 흔들리는지를 숫자로 표현.
크면 수익·손실의 폭이 큼 → 심리·리스크 관리
샤프 비율 (Sharpe Ratio)
초과수익(전략수익 − 무위험수익) ÷ 표준편차.
표준편차가 작을수록 점수가 높게 나옴 → “효율적으로 번다”의 지표.
포트폴리오 분산
자산 A, B를 섞었을 때의 전체 흔들림: σ²ₚ = w²ₐσ²ₐ + w²ᵦσ²ᵦ + 2wₐwᵦσₐσᵦρₐᵦ.
상관계수(ρ)가 낮거나 음(-)이면 서로 충격을 상쇄 → 전체 리스크 ↓.
VaR (Value at Risk)
“정상적 시장에서 하루(혹은 기간) 손실이 X를 넘지 않을 확률이 95%” 같은 식의 최대 예상손실.
정규 가정이면: VaR ≈ z(신뢰수준) × σ × 포지션규모.
옵션 가격 (Black–Scholes)
옵션 가치는 기초자산 변동성(σ) 이 클수록 ↑ (특히 콜·풋 모두 시간가치 증가).
“변동성 매수/매도”라는 개념의 근거 → 변동성 자체가 가격의 핵심 입력.
표준편차는 이렇게 다양하게 투자에 활용 가능합니다. 나중에 최대한 쉽게 다뤄보겠습니다.
7) 실제 데이터 예시 ― 나스닥 vs 코스피200
지수 평균 표준편차 해석
나스닥 0.04% 1.73% 수익률은 높지만 변동성도 큼
코스피200 0.03% 1.48% 더 안정적이지만 수익률은 낮음
평균(성장)과 표준편차(리스크)의 균형이 전략 선택에서 매우 중요합니다.
✅ 오늘의 핵심
평균(기대수익률) → 장기적으로 벌 수 있는 ‘속도’
분산 → 수익률의 흔들림 크기
표준편차 → 변동성을 실제 단위(%)로 표현
투자는 평균은 높고, 표준편차는 낮은 것이 좋다.
결국 투자에서 중요한 건 ‘얼마나 벌었는가’보다 ‘얼마나 흔들리지 않았는가’입니다.
평균이 수익의 방향을 보여준다면, 표준편차는 그 여정의 불안을 보여줍니다.
안정된 수익은 운이 아니라, 작은 흔들림 속에서도 버티는 통계적 균형에서 만들어진다.
