『수학 오디세이』 앤 루니 지음
〈피타고라스에서 괴델까지 이야기로 만나는 매혹적인 수학의 역사〉
지난주에 안나 체라솔리 지음 『수의 모험』을 읽었다. 초등학생을 대상으로 수학의 기초를 대화 형식으로 쉽게 풀어 쓴 책이다. 더 어려운 책으로 이 책을 선택했다. 이 책의 부제목은 〈피타고라스에서 괴델까지 이야기로 만나는 매혹적인 수학의 역사〉이다.
인류는 왜 수학을 해야 했을까? 기르는 양이 몇 마리인지, 없어진 양이 있는지 확인하기 위해서, 물건을 사고팔 때 공정하게 거래하고 있는지를 알기 위해서 돌멩이를 활용하거나 나무에 줄을 그어 표시했다. 원시시대에 수를 세기 위해 벽이나 동물의 뼈, 막대 등에 눈금을 그어 표시했다. 이런 방법을 ‘탤리 Tally’라고 한다. 이어 신체를 이용해서 1에서 10까지 셈했다. 수학을 시작하기 위해 인류에게 우선 숫자가 있어야 했다. 수학을 향해 떠나는 인류의 여행은 양의 정수로부터 시작한다.
오늘날 인류가 사용하고 있는 숫자는 기원전 2500년에서 1500년 사이에 번성했던 인더스 문명에서 비롯했다. 고대 불교의 자료에서 최초 발견되었다. 인도 숫자가 중동 지역에 널리 퍼지게 된 것은 페르시아 수학자 알콰리즈미의 책 《인도 숫자를 이용한 계산법》이다.
‘알콰리즈미(780~850)’는 페르시아의 수학자이며 천문학자이다. 인도 서적을 아라비아어로 번역했다. ‘알고리즘’이란 단어는 그의 이름에서 나왔다. 1202년 피보나치는 “9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 아홉 개의 인도 숫자에 ‘0’만 있으면 어떤 숫자라도 기록할 수 있다.”라고 했다.
인류가 최초로 사용했던 숫자들은 현실 세계의 사물과 직접 관련된 것들이었다. 이 숫자들은 양의 정수이다. 시간이 흐르면서 사람들은 실제로는 존재하지 않는 음의 정수를 수로 나타내거나, 1보다 작은 분수나 비율도 표기하고 허수에 대해서도 논의했다.
정수는 양과 음의 전체 수(전체 수는 0을 포함한 자연수)이다. 양의 정수는 자연수라고 부른다. 무한수는 더 이상 셀 수 없는 가장 큰 수에 편의를 위해 붙인 이름이다. 음수는 ‘-’로 표시한다. 물질적인 현실 세계와는 직접 관련이 없으며, 사물은 셀 수 없다. 온도와 같이 눈금으로 측정된 수치를 나타내기 위해 사용하기도 한다.
부분과 전체. 나누어질 수 없는 것들이 있다. 분수는 이와 같은 비율의 크기를 나타내는 효과적인 방법이다. 분수에 선을 최초로 사용한 사람은 유럽의 수학자 피보나치였다. 소수는 소수점 이하 숫자의 위치에 따라 10분의 1, 100분의 1, 등 ‘자리의 수’를 나타낸다.
기원전 3년 아르키메데스는 《모래알을 세는 사람》이라는 논문을 통해 아무리 큰 수라도 표현할 수 있으며 지구뿐만 아니라 우주를 가득 채울 모래알의 수도 계산할 수 있다고 했다.
숫자를 응용하면서 사람들은 곧 숫자 계산에 패턴이 있다는 것을 알았다. 사칙연산을 포함한 정수론은 숫자에 특별한 힘을 부여했고 그 결과 숫자는 미신과 마술적인 의식의 중심이 되었다. 과학과 상업이 발달함에 따라 큰 수, 분수, 소수 등을 다루는 일이 많아졌다.
스코틀랜드 수학자 존 네이피어가 17세기 초에 로그표를 개발한다. 로그를 이용해서 제곱과 제곱근을 찾을 수도 있다. 로그의 개발로 복잡한 계산을 더 빠르게 할 수 있게 되었고 과학이 더 발전했다.
1958년 미국의 인스트루먼트 사에서 일하던 잭 킬비가 마이크로 칩을 개발하면서 일반인들을 위한 컴퓨터가 탄생했다. 컴퓨터는 DNA 해독, 우주에서 온 방사선을 분석하고, 디지털 영화를 만드는 것 등 분야가 다양하다. 다음 세대의 컴퓨터는 데이터를 저장하고 조작하는 데 물질의 하위 원자를 이용하는 양자 컴퓨터가 될 것이다.
소수는 특별한 정수이다. 소수는 자기 자신과 1을 제외하고는 인수가 없는 수 이다. 완전수는 자신을 제외한 약수를 모두 더한 수 이다. 6=1+2+3+=1×2×3.
친화수는 한 쌍으로 이루어진 수이다. 쌍으로 이루어진 각각의 수의 진약수(자기 자신을 제외한 약수)를 모두 더하면 짝을 이루고 있는 또 다른 수가 된다. 220과 284는 친화수이다. 220의 약수인 1, 2, 4, 5, 20, 22, 20, 22, 44, 55, 110을 전부 더하면 284가 되고 284의 진약수 1, 2, 4, 71,142를 모두 더하면 220이 된다.
다각형 수. 특정 개수의 점이나 돌멩이 등을 배열해서 정다각형 모양을 만들 수 있다. 예를 들어 여섯 개의 돌을 배열해서 정삼각형을 만들 수 있다. 그러므로 6은 삼각수이다.
마방진은 정사각형 격자 안에 숫자를 배열해서 가로, 세로, 대각선의 함이 같아지도록 한 것이다. 이 합의 결과를 마법 상수라고 한다. 가장 작은 마방진은 한 변이 세 개의 정사각형으로 이루어진 것이고 상수는 15이다.
파이π는 원둘레 길이에 따른 원지름의 비율이다. 원지름이 d일 때 원주는 πd이다. π의 값은 소수점 이하로 숫자가 무한대로 길어지는 소수이다. 이 수는 3.14로 시작된다.
비현실적인 수로 허수와 복소수가 있다. 허수 i는 –1의 제곱근으로 정의된다. 허수라는 용어는 프랑스 수학자 르네 데카르트가 최초로 사용했다. 복소수 z는 다음과 같이 정의한다. z = x + iy 이때 x와 y는 실수이다.
금지된 숫자. 숫자를 금지한다는 것이 수 천 년 동안 벌어졌고 현재도 일어나는 일이다. 피타고라스는 무리수를 인정하지 않았고 음수에 대해 논의하는 것을 금지하였다.
악마의 숫자, 666 기독교에서 666은 요한계시록에서 신의 적으로 규정되어 있는 짐승의 숫자이기 때문에 금지했다. 중국에서는 천안문 사건이 일어난 날짜(8964; 1989년 6월 4일)를 비밀번호나 개인 식별 번호로 사용하는 것이 불법이다. 미국에서는 16진법의 특정 숫자(32자리의 수)가 ‘합법적이지 않은 수’가 되었다. 이 수는 고화질 DVD를 암호화하는 핵심이 되는 수 이다. 그리고 이 수를 대중에 공개하는 것은 불법이다.
사람들은 숫자로 측정하고 세고, 무언가를 만들고, 경제를 운용하고 우주를 연구할 수 있다. 진실로 숫자는 모든 과학 그리고 많은 예술의 열쇠이다. 그리고 모든 문명에서 핵심적인 역할을 하고 있다.
세상에는 ‘셀 수는 없지만, 잴 수 있는 것’이 있다. 연못 안에 있는 물의 양이나 언덕과 바다 사이의 거리는 셀 수 없다. 실세계의 거리와 면적, 용량 등을 연구하는 기하학은 수학의 초기 응용 분야 중 하나이다.
미국의 인지 언어학자 조지 레이코프와 심리학자 라파엘 누녜스는 《수학의 기원》에서 인간의 뇌 구조와 우리의 신체가 움직이는 방식이 수학을 발전시키는 방법들에 영향을 미친다는 것이다. 체화된 정신 이론에서는 인간 정신세계의 구조가 필연적으로 이것을 만들어내기 때문이다.라고 주장한다.
사람들이 오랜 세월 수학을 연구하고 발전시켜온 과정을 이 책을 통해 알게 됐다.
책 소개
『수학 오디세이』 앤 루니 지음. 문수인 옮김. 2010.06.14. 돋을새김. 304쪽. 16,000원.
앤 루니. Anne Rooney 케임브리지의 트리니티 대학에서 중세 문학으로 박사학위를 받았다. 케임브리지 대학과 뉴욕 대학에서 중세 영어와 프랑스 문학을 가르쳤으며, 프리랜서 작가로 활동하고 있다. 《물리학 오디세이》 《의학 오디세이》 《철학 오디세이》 《최첨단 컴퓨터》 등 100여 권의 책을 집필했다.
문수인. 1980년 제주도에서 태어나 숙명여자대학교 국어국문학과 졸업, 번역가로 활동하고 있다. 역서로 《뇌를 변화시키면 공부가 즐겁다》가 있다.
