Stellar stream을 연구하는 효과적인 방법
Action-angle formalism 한국어로 설명하기
이번 글에서는 같은 전공 사람들도 처음 보면 이해하기 꺼려하는 Action-angle formalism에 관해 설명해 보려고 한다. 처음 볼 때는 나도 거부감이 들었지만 미적분학을 기초만 배웠어도 어느 정도 이해할 수 있다. 미적분학을 배운 적이 있다면 기억을 더듬어 이 글에 도전해보길 바란다.
나의 석사 논문은 stellar stream을 모델링하여 우리 은하의 질량을 알아내는 내용이었다. Stellar stream을 모델링하는 방법들 중 많이 쓰인 방법은 stellar stream의 중심 궤도를 계산하는 것이다 (N-body integration이라고 하겠다). Stellar stream의 각 별들의 궤도를 모두 구할 수 있으면 좋겠지만 기술적으로 시간이 너무 오래 걸리기 때문에 보통은 중심 궤도만 계산하고 stellar stream을 그 궤도에 맞춰 모델링을 하는 방법이 많이 쓰였다. 하지만 stellar stream의 각 별들은 각자의 궤도를 가지고 있기 때문에 엄밀히 따지면 이런 방법에는 실제 궤도와 오류가 존재한다.
그래서 사용하게 된 방법이 Action-angle을 사용하여 각 별들의 궤도를 계산하는 것이다. 별들마다 매 순간순간 위치와 속도를 구해야 하는 N-body integration과는 달리 Action-angle formalism은 변하지 않는 3개의 Action, 그리고 시간과 선형 관계인(linear relationship) 3개의 Angle 첫 값들만을 이용해서 궤도를 계산한다. 여기서 Action은 3개의 숫자로 별의 궤도를 나타내고, Angle은 시간이 지남에 따라 함께 증가하며 그 값은 별이 자신의 궤도 어디에 위치하는지를 나타낸다.
이러한 궤도의 단순함은 Helmi & White (1999)에서 해밀턴 방정식을 사용하여 정리되었다. 첫 번째 해밀턴 방정식에서는 해밀토니안(H: 궤도의 총에너지를 뜻한다)이 Action(J)에 의해서만 값이 결정된다는 것을 알 수 있고 두 번째 방정식에서는 이런 해밀토니안의 성질을 이용해 Angle(θ)이 시간과 선형 관계인 것을 증명할 수 있다.
1. Action(J)은 외부의 간섭이 없는 별의 궤도에서 변하지 않는 항수이다.
2. 즉, 첫 번째 해밀턴 방정식은 0이 된다.
3. 이 방정식에서 우리는 해밀토니안(H)이 J의 값으로만 결정된다는 것을 알 수 있다.
4. 해밀토니안이 항수인 J로만 결정된다는 것으로 두 번째 방정식 역시 또 다른 항수가 된다는 것을 알 수 있다.
5. 두 번째 방정식을 적분하면 Angle(θ)이 시간과 선형 관계인 것을 알 수 있다.
시간의 따른 궤도 반지름의 변화와 Angle의 변화. 이 그래프에서 Angle이 궤도의 반지름보다 더 간단한 그래프를 보인다.결국 별의 궤도를 구하는데 필요한 값은 6개밖에 되지 않는다. 그래서 N-body integration보다 훨씬 빠르게 stellar stream의 모든 별들의 궤도를 계산할 수 있고 모델링에서 수정할 사항이 생겼을 때 더 쉽고 빠르게 모델을 수정할 수 있다. 내 연구에서도 Action-angle을 이용하여 N-body integration 보다 훨씬 빠르고 다양한 stellar stream을 모델링할 수 있었다.
Reference
Helmi, A. and White, S. D. M. (1999). Building up the stellar halo of the Galaxy. MNRAS, 307(3):495–517
