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계정을 잊어버리셨나요?

by 김진성 Oct 16. 2018

수란 무엇인가?

수학에 있어서 수란 아주 중요한 표현입니다.

저는 수와 문자를 구분하는 능력이 있어야 수학 문제를 효율적으로 해결할 수 있다고 생각합니다.

수는 쉽게 1,2,3,4,5, 1.5, 1/5, log4, π 이런 것이 들이고 문자는 x, y, z, a, b 등등 이런 것들이 문자입니다. 하지만 우리가 생각하는 문자가 항상 문자인 경우는 없습니다. 간혹 문자도 숫자로 취급되는 경우가 있습니다.

가령, y=ax라는 식에서 보이는 부분는 전부 문자처럼 보이지만 실제로 a는 숫자입니다.

이러한 상황들을 조금 정리하면 보통 문자로 해석하는 경우는 미지수로 정의될 때 그 문자를 문자로 취급하고 미지수가 아닌 문자는 상수(수) 취급할 수 있습니다.

다시 예를 들면

에서 보면 1 말고는 전부 문자처럼 보입니다. 실제로도 문자입니다. 하자만 여기서 생각해봐야 할 문제는 우변의 n이 시그마 앞으로 나왔습니다. 수학적인 정리에서 시그마 안의 수식에서 k라는 문자 말고는 전부 상수화 하는 것입니다. 그리고 시그마 밖으로 나가는 순간 문자가 됩니다.

우리가 식을 이해하고 해석을 할 때 혹은 문제를 풀 때 문자와 숫자를 구분하지 못할 경우 수학적인 내용을 이해하지 못하거나 문제를 해결하지 못하는 경우가 있습니다.

그래서 수학의 가장 기본적인 부분인 수와 문자에 대해서 구분을 할 수 있는 능력은 아주 중요한 문제가 될 수 있다고 생각합니다.

다시 한번 정리를 해보면 식에서 고정된 값은 수로 취급하고 변하는 값, 구하는 값은 문자로 취급할 수 있을 것입니다.

이 또한, 일반적인 상황을 정리한 것이고 언제든 상황에 따라서 바뀔 수 있다고 생각합니다. 그래서 그 상황에 맞추어 수와 문자를 구별하는 능력을 갖추는 것이 중요하고 이를 키우기 위해서 수학적인 문장을 많이 보면서 논리적인 판단을 하는 연습이 필요할 것입니다.

|수의 체계

수의 체계

본격적으로 수에 대해서 이야기해보겠습니다.

수는 크게 실수와 허수로 구분됩니다. 실수는 실제 존재하는 수를 이야기하고 허수는 개념상으로 존재하는 수입니다. 개념상으로 존재하다는 의미가 쉽게 이해하지 못할 수 있습니다. 조금 더 쉽게 이야기한다면 실수는 보이는 수이고 허수는 보이지 않는 수를 이야기한다고 볼 수 있습니다.

보이지 않는다는 이야기는 주어지는 조건에서는 성립하지 못하지만 조건이 바뀌면 만족할 수 있다는 의미를 내포하고 있습니다. 중고등학교 수학에서 허수가 큰 의미를 갖지 못하지만 심도 있는 수학적 내용을 들어갈 때는 허수라는 개념은 아주 중요한 의미를 갖습니다.

실수는 다시 유리수와 무리수로 구분이 됩니다. 유리수와 무리수를 쉽게 이야기하면 어떠한 수를 소수(小數)로 표현했을 때 소수점 밑의 수가 유한 개 일 것이냐 무한 개 일 것이냐는 차이입니다.

다시 무리수는 소수점 밑의 수가 일정한 규칙을 가질 것이냐 불규칙할 것이냐에 따라 나뉠 수 있습니다. 소수점 밑의 수가 일정한 규칙을 가질 경우 이를 순환소수라고 하고 이는 유리화가 가능해집니다.

유리수는 정수와 정수가 아닌 수로 나누어지고 정수가 아닌 수는 흔히 소수(小數)로 나타낼 수 있습니다.

정수는 양의 정수와 0, 음의 정수로 나누어집니다. 양의 정수를 다른 말로 자연수라고 이야기하고 가장 많이 사용하는 1,2,3,4,5 등의 형태로 사용됩니다.

음의 정수는 -1,-2,-3 등의 형태로 사용됩니다.

조금 깊게 생각해 봐야 할 부분이 자연수입니다. 자연수는 소수(素數), 1, 합성수로 이루어집니다. 여기서 소수(素數)는 수학적으로 아주 중요한 의미를 갖습니다. 왜냐하면 우리가 사용하는 모든 수는 소수(素數)의 곱으로 이루어져 있습니다. 4=2*2, 6=2*3, 등등 모든 합성수는 소수(素數)의 곱으로 이루어져 있습니다. 소수(素數)의 정의를 살펴보면 1과 자기 자신만의 약수를 갖는 수를 소수(素數)라고 합니다.

소수(素數)가 가지고 있는 핵심적인 의미 중에 하나는 자연수의 가장 작은 단위입니다. 실제로 정수론에 관련한 여러 가지 증명이나 가설들이 소수(素數)에 의해서 나왔습니다.

이러한 수의 체계는 실제로 수학을 하는 데 있어서 직접적인 영향을 미치지는 않습니다. 아마 대부분 직관적으로 판단을 하거나 특별히 인지하지 않고 수학을 보는 경향이 많이 있습니다.

|조건의 중요성

수학이라는 학문은 조건이 아주 중요한 부분을 차지하고 있습니다.

아마도 많은 사람은 수학 문제를 풀 때 '다음 정수 x, y에 대해서', ' 실수 a, b에 대해서'등등 문제의 가장 처음에 나오는 문장이나 '단, a, b는 자연수', 'i는 허수', 'x, y는 0이 아님'등등 이러한 문제 마지막에 나오는 것들을 인지하면서 문제를 풀어본 적인 거의 없을 것이라 생각합니다. 실제로 문제를 해결하는 데 있어서 이 부분들이 직접적인 영향을 미치는 경우는 거의 없습니다. 그래서 많은 사람들이 이 부분을 인지하면서 문제를 해결하지 않습니다.

하지만 이 부분은 아주 중요한 부분입니다. 이 부분들이 조건이고 이러한 조건이 없다면 문제는 조건의 범위가 제약이 없기 때문에 전혀 다른 결과가 나올 수 있는 가능성이 생길 수 있습니다.

예를 들어서 다음과 같은 문제가 있다고 가정해보겠습니다.