수학적인 사고의 방법
수학적인 사고라 함은 자신이 생각하는 부분을 수학적인 표현으로 바꾸는 것이라고 볼 수 있을 것입니다.
많은 사람들은 인지하지 못하는 부분에서 수학적인 사고를 합니다.
그중에서 대표적인 수학적인 사고는 확률일 것입니다.
동전의 앞면이 나올 확률은 50%라는 사실은 상식처럼 알고 있는 부분입니다.
동전이 앞면이 나올 확률을 좀 더 수학적으로 접근하면 동전에서 나올 수 있는 경우는 앞면과 뒷면 두 가지고 그중에 앞면은 한 가지이므로 앞면과 뒷면이 나올 수 있는 확률은 각각 50%입니다.
이러한 논리로 사고를 하는 것이 수학적인 사고의 한 가지 경우라고 할 수 있습니다.
그리고 경우를 나누는 것 또한 수학적인 사고라고 할 수 있습니다. 예를 두 갈래의 길이 있을 경우 왼쪽으로 가는 것이 좋을까? 오른쪽으로 가는 것이 좋을까? 판단하는 것도 수학적인 접근입니다.
이런 식으로 실제로 많은 사람들은 다양하게 수학적인 사고를 하고 그 사고를 통해서 판단을 합니다.
하지만 수학적인 판단을 한다고 생각을 하지 못합니다. 그 이유는 아마도 너무도 쉬운 수학이라서 미처 수학이라고 인지하지 못하는 것이라고 저는 생각합니다.
|거리의 수학적인 접근
예를 들어 다음 그림처럼
직선이 있고 하나의 점이 있다고 생각을 해봅시다.
여기서 수학적인 사고를 할 수 있는 방법은 여러 가지가 있을 것입니다.
만약에 점과 직선의 거리를 알고 싶다고 가정을 한다면 우선 점과 직선의 거리가 어떤 의미를 갖는지를 알아야 할 것입니다.
점과 직선의 거리는 서로 “수직"의 관계를 갖는다는 것을 알아야 합니다
수직이 거리인 이유는 수직만이 단일값을 값을 갖습니다. 수직이 아닌 다른 거리는 동일한 두개의 위치값을 갖습니다. 그래서 거리는 수직의 관계에서 표현합니다.
서로 수직의 관계를 알았다면 거리를 어떻게 알아낼 수 있을까요?
우선 제일 직관적인 방법은 거리를 직접 자로 재서 알아낼 수 있습니다.
그럼 자로 잴 수 없다면 어떻게 해야 할까요?
이때 좌표라는 개념을 적용할 수 있습니다.
좌표라는 수학적인 개념을 이용하여 점과 직선에 일종의 기준을 마련할 수 있습니다.
그럼 여기서 좌표를 어떻게 잡을 까요? 엄밀히 말해서 기준은 없습니다.
아마 이 글을 보는 대부분의 사람은 좌표가 정해져 있는 문제만 보았을 경우가 많을 것입니다.
기준은 정하는 사람의 마음입니다. 하지만 수식이 간단하게 만들어질 수 있는 좌표를 잡는 것이 가장 효율적인 좌표를 잡는 것이라고 생각합니다.
그럼 실제로 거리를 어떻게 구할지 생각을 해본다면 공식을 알고 있는 사람은 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 쉽게 거리를 구할 수 있을 것입니다.
하지만 제가 이야기하고 싶은 목적은 수학적인 사고를 어떻게 하는지에 대해서 이야기하는 것이 목적이기 때문에 공식의 이야기는 접어두도록 하겠습니다.
이제 본격적으로 거리를 구하는 부분에 대해서 생각을 해보도록 하겠습니다.
그럼 직선과 점의 거리는 어떻게 구할 수가 있을까요?
거리를 구하기 위해서 사용할 수 있는 방법 중의 하나가 피타고라스의 정리입니다.
피타고라스의 정리는 변의 길이를 알고 하나의 각이 직각인 삼각형을 이용하여 한 변의 길이를 구할 수 있는 방법입니다.
점과 직선 사이의 거리 또한 수직을 이루어야 하기 때문에 피타고라스의 정리를 적용할 수 있다는 생각을 할 수 있습니다.
그럼 여기서 추가로 더 알아야 하는 것은 두변의 길이를 찾아내는 것입니다.
두변의 길이는 어떤 방식으로 알아볼 수가 있을까요?
두변을 구하기 위해서 꼭 공식을 적용해야 할 필요는 없습니다. 당연히 공식을 이용하면 조금은 간편하게 거리를 구할 수 있습니다.
하지만 제가 이야기하고 싶은 것은 공식을 이용하는 것이 아니라 접근을 이야기하고 싶습니다. 수학적인 논리는 다양한 접근을 통해서 수학적인 표현을 할 수 있는 능력이 중요하다고 생각합니다.
그럼 다시 처음 주어줬던 그림에서 x축과 y 축을 다음과 같이 정하고 약간 회전을 하면 마지막 그림처럼 표현할 수 있습니다. 그럼 y절편과 점의 거리가 되는 것이고 점의 좌표를 알고 있다면 x좌표의 거리가 점과 직선 사이의 거리가 되는 것입니다.
이러한 관점에서 수학을 접근할 수 있다면 고정된 방식으로 문제를 해결하는 것이 아니라 문제의 조건을 벗어나지 않는 범위 안에서 조건을 재해석하고 다른 관점을 적용해본다면 수학적인 사고능력이 향상될 수 있을 것이라고 생각합니다.
|수학적 사고에 의한 문제 해결의 접근 방법
위의 도형에서 x값을 구하는 문제가 있습니다.
아마도 수학에 대한 기억이 있으신 분이라면 이문제는 피타고라스를 이용하면 구할 수 있겠다고 생각을 하실 수 있을 것입니다.
맞습니다. 중학교 교과서에도 나오는 형태의 문제이고 피타고라스를 이용하면 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다.
하지만 제가 이야기하고 싶은 부분은 문제의 질문을 어떤 식으로 해석하고 이해할 것이냐의 문제입니다.
x를 과연 어떻게 해석할 수 있을까요? 피타고라스의 정리로 문제를 해결한다는 것은 x를 어떻게 해석한 것일까요?
제가 보는 문제의 관점은 피타고라스의 정리로 문제를 해결한다는 것은 x를 길이의 개념으로 해석했다는 것입니다.
피타고라스의 정리는 직각삼각형에 대한 길이의 관계를 이용한 것이라고 볼 수 있습니다.
그래서 직각삼각형의 부분을 이용하여 피타고라스의 정리를 두 번 이용한다면 문제를 해결 할 수 있을 것입니다.
다시 문제의 질문을 다르게 해석해보겠습니다. x를 삼각형의 변의 길이로 파악할 수 있습니다. 그럼 논리적인 수순으로 삼각형의 닮음비에 대한 논리로 접근할 수 있습니다.
기존의 작은 직각삼각형을 위의 그림과 같이 위치를 바꾸어서 보면 닮음비를 적용하여 간단하게 문제를 해결할 수 있다.
다시 질문을 다르게 바라보겠습니다. 이번에 삼각형의 높이로 해석할 수 있습니다.
그럼 전체 사각형의 넓이의 반과 밑변의 길이가 5이고 높이가 x 인 삼각형의 넓이는 같습니다. 그래서 넓이의 같음을 이용하여 문제를 해결하는 방법을 적용할 수 있습니다.
|수학적인 사고 단계
위에서 보았듯이 문제를 어떤 식으로 바라보고 해석을 어떻게 하며 어떠한 지식을 적용할 것인지에 따라서 문제를 해결하는 방법이 달라질 수 있습니다.
수학적인 사고 단계란 이처럼 해결하고자 하는 부분을 파악하고 해석을 하는 것이 첫 번째입니다.
이때 문제의 상황과 어떠한 조건들이 있는지를 보면서 자신이 알고 있는 지식을 적용하면 되는 것이고 만약에 필요한 지식을 모르고 있다면 그때 필요한 지식을 정리하여 해결하고 하는 문제의 핵심을 파악할 수 있다고 생각합니다.
그다음 단계는 주어진 조건에 따라서 실제로 실행을 해보는 것입니다. 그림을 그려야 한다면 그림을 그리고 좌표에 표현을 해야 한다면 좌표에 표현을 하고 수식을 정리해야 한다면 수식을 정리를 하면서 자신이 해결하고 하는 문제의 방향에 따라서 실행합니다. 이 때는 수리적인 이해력이 중요합니다. 표현을 한다는 것을 이해를 하고 있어야만 표현이 가능하다고 생각합니다.
마지막 단계는 앞의 단계의 종합적인 논리적인 판단입니다. 자신이 해석인 문제의 방향과 수리적인 표현이 논리적으로 맞아야 합니다. 만약에 결과가 다르다면 이 부분의 논리적인 부분이 잘못되었다는 것을 반증합니다.
간혹 (산수) 계산이 잘못되는 경우 있지만 계산이 잘못되었다는 부분을 배재합니다.
