곱셈의 의미
곱셈은 넓이를 표현하기 위한 TOOL
앞서 나눗셈이 분할의 의미가 아니라 포함의 의미로 해석해야된다고 강조했습니다.
(스탠포드 대학의 리핑 마 교수가 있다. 이 아줌마 중국 사람이다. 시골에서 초등학교만 졸업하고 교사가 부족해서 자신이 다니던 초등학교 교사를 하다가 미국 장학재단의 도움으로 유학길에 오른다. 박사학위 논문(1990)이 미국 교육계를 발칵 뒤집어놓는 결과를 가져오는데, 그 논문이 책으로 출판됐고, 우리말로 번역출간도 됐다. <초등학교 수학 이렇게 가르쳐라>(승마)가 그것이다. 여기서 리핑 마 교수가 강조한 것이 나눗셈의 개념. 중국에서는 나누기를 포함개념으로 가르쳐왔는데 미국에서 나누기를 균등분할 개념으로 가르치기 때문에 어떤 오류들이 발생하는지 분명하게 보여준다. 미국의 교육과정과 교수요목을 그대로 가지고 온 한국은 여전히 마찬가지다. 초등학교 때 이러한 오류는 평생간다. 수학을 싫어하게 되는 중요한 요인이 된다)
이번엔 곱셈에 대한 진정한 이해 순서입니다.
고등학교 1학년 교실에서 첫 수학 시간에 수학교사가 학생들에게 물었습니다.
"아래 그림처럼 가로 12cm 세로 5cm인 직사각형의 넓이를 가로 곱하기 세로로 계산해서 60제곱센티미터라고 답하는 이유가 무엇이냐?"
아무도 대답하지 못했습니다. 교사는 숙제로 해오라고 했습니다. 숙제를 받은 A군이 누구에게 물어도 해결되지 않아서 제게 전화했습니다.
"넒이에 대한 이해가 없으니까 대답할 수 없는 거지. 직사각형의 넓이는 가로 선분(또는 세로 선분)이 세로 길이(또는 가로 길이)만큼 이동할 때 나타나는 궤적(자취)을 말하는 거야. 1차원 선분이 특정 길이만큼 쌓이면(누적되면) 2차원의 면을 창출하고, 그 양을 표시하기 위해 선분 길이와 움직인 거리를 곱해서 계산하고 단위도 제곱표시를 하는 것이다"
이제 2곱하기3은 2를세번 더한 것이라고 생각하지 말아야 합니다. 길이가 2인 선분이 3만큼 수직 이동해서 만든 면적의 양이라고 이해하기 바랍니다.
아래 계산을 2를 2/3번 더한다고 생각할 수 없습니다. 2 길이의 선분이 2/3만큼 수직 이동한 궤적의 넓이를 나타냅니다.
직사각형은 평행사변형의 특별한 경우입니다. 평행사변형 넓이 구하는 것도 직사각형 넓이를 계산하는 것과 같은 이치입니다.
삼각형 넓이구하기는 직사각형 넓이의 절반이거나 평행사변형 넓이의 절반으로 보고 계산한 것입니다.
그렇다면 아래와 같은 제 멋대로 도형의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까요.
선분으로 이루어진 경우 어떤 도형이든 삼각형으로 분리할 수 있습니다.
삼각형의 경우 위에서 말한 것처럼 평행사변형이나 직사각형의 절반이므로 쉽게 계산할 수 있습니다.
5개의 삼각형으로 구분하고 각각 삼각형 넓이를 구하면 찌그러진 도형일지라도 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다.
이 때 넓이의 개념이 1차원 선분의 이동이라는 것을 알고 가야할 것입니다.
자, 분배법칙(배분법칙)이 아래 그림과 같은 이치이지만 초등학교 때 기계적으로 배운 것이 얼마나 엉터리인지 알 수 있습니다. 지금은 아래 이미지를 교과서에 도입하고 있습니다만 여전히 곱셈의 개념에 대한 몰이해는 마찬가지입니다.
a(b+c) 계산에 대해 아래 그림을 학생의 머리에 기억해야하는 것이지 괄호 밖에 있는 a를 b와 c에 각각 곱하라는 설명은 타당하지 않습니다. 이 역시 곱셈이 2차원 넓이를 나타내는 계산기호임을 알고 있어야합니다.
그렇다면 중학교에 들어가서 배우는 전개는 어떨까요. 이제 아래 그림을 이해하고 작도하는 것이 어렵지 않을 것입니다.
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
(a+b)^2은 어떨까. 아래 그림에서 a^2과 b^2, 그리고 ab가 두 개 있다는 것을 직관적으로 알 수 있습니다.
그러니까 나온 공식이 다음과 같은 것입니다.
이번엔 (a-b)^2의 경우입니다. 경험적으로 이 전개를 그림으로 작도하지 못하는 경우가 허다합니다.
반드시 작도를 직접 할 수 있어야 합니다. 프리젠테이션이 수학 공부의 핵심이라는 것을 잊지 말고~
간단하지만 많은 학생들이 이해하지 못하면서 암기하고 넘어갑니다.
그 다음이 가장 문제입니다. 한겨레교육문화센터에서 초6~중2 학생들을 대상으로 아래 내용을 수업했을 때 작도하는 아이들이 드물었습니다. 작도를 따라할 수 있어도 자신이 작도한 스케치를 설명하지 못합니다.
위 전개공식을 아래 그림을 작도해서 설명하면 완전한 이해를 인정할 수 있습니다.
부모님과 함께 공부하면 좋겠습니다. 어른들이라고 아이들과 크게 다르지 않다는 것을 내 아이가 알게 되면 긍정적일까요, 부정적일까요.
반드시 긍정적입니다. 쩔쩔매면서 함께 고민하는 아빠(엄마)가 있다면 아이 학습에 큰 도움이 됩니다. 그러니 부모님도 꼭 작도하고 고민하고 해보시기 바랍니다.
※만약 이 내용을 잘 아는 아빠, 엄마의 경우 너무 쉽게(문제도 아니라는 듯 가볍게) 설명하지 말기를 바랍니다. 아이들 앞에서 자존심을 1순위로 여기는 자신을 관찰하는 계기로 삼으시기 바랍니다.
