으랏차차 씩씩한 수학
에필로그
요시다 타케시의 <씩씩한 수학> 원서로 여름방학 보름 동안 고등학교 수학을 공부할 중학생을 찾습니다.
영어는 피터 브라운의 <The wild robot>으로 공부합니다.
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에필로그
나는 이전부터 "이공계 서적은 프롤로그, 에필로그를 읽은 후, 첫 회는 본문을 뒤에서 앞으로 읽는다"를 권장하고 있으므로, 이곳에 본문을 읽지 않은 채 직접 오신 분도 계실지도 모른다. 혹은 프롤로그 마지막에 일단 후기로 가라고 했으니, 곧장 오셨을 수도 있겠다. 여기서는 본문과는 달리 좀 다른 종류의 얘기를 하려고 하니 읽지 않아도 상관없다.
누구나 경험하고 있지만 많은 사람들은 의식조차 하지 못한다. 바로 학교 교육이 안고 있는 문제에 대해 좀 생각해 보고 싶다. 공립학교에서 배우는 교과 교육은 교육부가 정한 '범위'를 배워야 한다. 배움의 순서를 학년별로 정한 다음 검정 교과서라는 형태로 학생들에게 배급된다. 시간이 지나면서 다루는 범위에 다소의 이동은 생겨도 이 구조 자체는 변하지 않는다.
그 '범위'에 관해서는 자주 거론되지만, 그 '순서'에 관해서는 아무도 신경 쓰지 않는 것처럼 보인다. 여기서 논의하고 싶은 것은 이 '순서의 문제'이다. 학교 수업은 교과서 앞에서 뒤로 「직선적」으로 진행한다고 믿으며 진행한다. 교육 당국은 자신의 믿음을 「논리」라 생각한다. 오늘 배울 것은 어제까지 배운 것만을 전제로 하고 있다. 아직 배우지 않은 내용은 다루지 않는다.
그렇게 할 수 있도록 교육부와 교과서 집필진이 고생하여 '단원의 조합 퍼즐을 푼 결과'가 현행 교과서이자 이를 보완하는 일련의 참고서이다. 확실히 이 순서에는 일정한 효능이 있다. 지도자들은 명확한 기준을 제시함으로써 수업에 대한 부담을 줄여 준다. 정기시험도 만들기 쉽다. 또 학생 측에 있어서 장기 휴학한 경우라도 복귀 후의 대응이 용이하다.
그러니까 현재 교육과정이 여러 가지로 메리트는 있다. 그것은 확실히 일반 대중을 위한 기초 교육에 필요한 여러 가지 조건을 충족시킨다. 그러나 이것은 결코 "배우기 용이한" 순서가 아니다. 쉬운 일에서 어려운 일로, 구체적인 일에서 추상적인 일로 나아가는 것이 우리가 기대하는 바이다. 그것이 사람의 「생리」에 맞다.
그런데, 직선적인 순서로 단원을 나열하려고 하면, 아무래도 수학적 내용을 기술하기 위해서 수학적 도구, 즉 '수의 성질'과 '집합' 등의 추상적 이론이 앞서고 만다. 수학적 생리에 따르면 많은 구체적인 예들을 경험한 후에 '부드럽게 나타나야 할 추상적인 개념'이 고등학교 1학년 초부터 나와버린다. 대학입시도 가장 귀찮은 문제는 1학년 과목이다. 고1 수학 내용을 '어려운 개념'이 아닌 ‘귀찮은 처리’로 알고 있는 현실이다.
논리가 생리를 억누르고 있으니, 고통받는 사람이 생기는 것도 당연한 일이다. 왜 이 억지가 통하는가? 그것은 우리가 사회 전체로부터 "합리성이라는 이름의 고문을 받고 사는" 노예로 전락했기 때문이다. 합리적이다 논리적이다 하고 떠들어대는 자들은 그저 「부분적인 올바름」을 주장하고 있다.
이상에 근거한 정의는 현실을 배려하지 않고 배타적이고 잔인할 뿐이다. 바로 '나무를 보고 숲을 보지 않는' 경우라고 말할 수 있겠다. 논리는 옳음을 보증한다고 해도 무언가를 만들어내는 힘은 없다. 과거의 정밀조사에는 적합해도, 미래를 개척하는 발견과는 인연이 없는 것이다. 새로운 아이디어는 종종 비합리적이고 비논리적인 실수를 포함한다. 그 올바름은 안으로 숨어서 쉽게 드러나지 않는다. 따라서 틀리지 않는 사람은 새로운 발견을 할 수 없다.
올바름에 대한 집착과 그에 따른 안정감. 이게 '학습 순서' 을 결정하는 사람들이나 그에 따르는 사람들이 교육과정 혁신에 관심이 없는 이유가 아닐까? 피차 옳음에 만족하여, 그 이름 아래 사고가 정지됐다.
영어에 있어도 같은 지적이 있다. '제2언어 습득 이론'은 20세기 중반에 연구가 시작되었다. 언어를 탄생지의 자연스러운 환경으로부터 익힌 모국어 화자와, 스스로의 의지에 의해 제2의 언어로서 배우려고 하는 사람과 비교 검토가 정량적으로 연구되고 있다. 그것의 성과 중 하나로 시중에 떠도는 '교재 선전문'은 거의 단순한 속설에 불과하다. 예를 들어, 영어 모국어 사용자와 다른 방법으로 영어를 외국어로 배우는 자가 공부해야 한다는 주장이다. 또한 영어 교과서의 정렬 순서와 모국어 사용자가 배우는 순서의 차이에 대해서도 언급하고 있다. "This Pencil!" 이렇게만 말하면 안되니까 우선은 글의 구성에 필수가 되는 「be동사」 나 「관사」를 처음으로 다룬다. 이것들은 모두 어려운 문제를 내포하고 있으며, 사실은 시기가 무르익기를 기다려야 하는 내용인 것이다.
만약 우리가 언어적인 측면에 주목하여 엉성한 대조를 시도한다면, 우리는 '자연수의 개념'을 발견할 수 있다. 자연수를 모국어를 받아들이듯 부지불식 간에 몸에 익히고 있는 것에 비해, 그 이후의 발전적인 수학 내용에 관해서는 마치 제2언어로 영어를 배우는 것처럼 습득에 곤란을 느끼고 있다고 말할 수 있다. 그리고 영어와 마찬가지로 수학교육에 있어서도 속설과 환상이 세상에 넘쳐나고 있다.
학교 교육이 학생에게 속설과 환상을 세뇌시키고 있다. '최대의 환상'은 '교과서 순서대로 공부해야 이해할 수 있을 것이다' '수학을 못하는 것은 기초가 부족하기 때문이다' '앞부분이 불확실하기 때문에 다음으로 넘어갈 수 없다' 따위이다. 여기에 더해 '수학은 반복 교육과정'이라는 주장이 덮친다. 그러니 좌절하는 학생이 나오는 것도 무리가 아니다.
그러면 지도에 '편리한 순서' 대신 학생들이 '이해하기 쉬운 순서'는 무엇일까? '이상의 정렬 순서'는 무엇인가? 그것은 보다 깊은 연구가 필요하겠지만, 좋은 절충안이 있다. 그것은 '반복해서 교과서를 읽는 것'이다. 첫머리에 말한 것처럼 '이공계 서적은 뒤에서 읽어라'라는 제안은 이 책을 몇 바퀴나 반복해서 읽어 주었으면 하는 것을 요청한 표현이다. 반복해서 읽는 것이 전제가 되어도, 용어의 정의가 뒤바뀌었다고 해도, 특별한 지장은 생기지 않는다. 앞뒤로 넘나드는 페이지의 왕래도, 몇 바퀴나 돌고 난 후에는 어느 쪽이 앞인지 뒤인지 헷갈려도 좋다. 때로는 호쾌한 "날치기 읽기" 도 유효하다. 처음부터 이해하기 어려운 대상이 단 한 번뿐인 직선 학습으로 완결될 리 없다. 이런 상식적인 읽기 방법을 말하지 않을 수 없는 것은 학생들이 몇 번이고 읽는 행위 자체가 몸에 배지 않았기 때문이다.
만일 학교에서 교과서 전체를 2개월 정도로 단번에 끝까지 하고, 다시 처음의 페이지로 돌아가서 반복하는 수업형태를 취한다면 학생들에게 훨씬 효과적이다. 학습을 위한다면 교과서를 여러 바퀴 읽는 것이 필요하다.
특수한 교과서를 사용하는 것도 아니고, 정해진 지도 내용에도 어긋나지 않아도 현장 교원의 재량으로 배움의 순서를 바꿀 수 있다. 사학은 현장 교원의 자유도가 더욱 높을 것이고, 학원이나 입시학원에 다니는 사람들은 강사의 궁리된 수업을 들을 것이다. 그러나, 과반수의 학생에게는 「학교가 전부」 이다.
전원이 백점을 맞아도 되는 자격시험은 한정된 분야별 문제가 주를 이룬다. 하지만 그래서는 곤란한 선발 시험은 종합 문제가 주를 이룬다. 따라서 분야별 학습만으로는 입시에 대응할 수 없다. 예를 들면, '선'이라고 붙는 용어에는 직선, 선분, 준선, 할선, 접선, 법선 등이 있다. 이것들을 일괄적으로 배우는 것이 입시 대책으로 필요하다.
기존의 교육과정은 고층 빌딩을 칠할 때, 1층 벽면의 일부를 조준하는 '1회 칠'로 학교에서의 지도가 완성되었다고 말한다. 그래서 학생들도 "일 층이 아직 칠해지지 않았지만 어쩔 수 없이 이 층에 칠을 시작해야 한다"고 말하는 것이 당연하다고 받아들인다. 이렇게 한다면 마지막까지 완성 후의 이미지를 파악할 수 없고, 학습에 가장 중요한 충분한 동기부여를 할 수 없다.
본래 학문은 덧칠의 수법에 따라 배워야 할 것이다. 첫 번째는 얇고 옅은 색을 전체에 칠한다. 그리고 마르면 덧바르고, 마르면 또 덧바른다를 몇 번이나 반복해서, 완성 이미지를 항상 의식하면서 학습을 계속해야 한다. 도료가 흘러내리는 걸 생각하면 '맨 꼭대기 층부터 시작한다' 것도 좋을지 모른다. 분명히 말하건데 초보 학습자에게는 기초보다도 전체파악이 훨씬 중요하다. 「나무를 보지 않더라도 숲을 먼저 본다」 가 적절하다.
학창시절에 수학을 기피했던 사회인이, 필요해서 교과서를 다시 손에 넣었을 때, 뜻밖에도 그 '이해의 용이성' 에 놀라는 일이 많은 모양이다. 왜 그렇게 될까? 사회의 경험이 사물의 관점을 넓히고 이해력을 증대시킨 것이 주된 이유겠지만, 희미하게 남아있던 학습의 기억이 정확히 「처음 덧칠」 역할을 다한 효과라고 할 수 있지 않을까?
사회에 나온 후 취미로서의 배움은, '교과서의 순서' 에 구속되지 않고, 생각나는 대로 마음 가는 대로 테마를 선택하므로, 자연스럽고 효율적일 것이다. 본 책은 그런 아이디어로 만들었다. 바로 '겹칠' 의 첫 시도가 되도록 기획되었다.
덧칠의 두 번째 바퀴 이후는 독자에게 맡겨져 있다. 그래서 굳이 세부 내용를 줄인 부분도 있다. 숫자열에서 문자를 도입할 것인가? 계산을 일반화하면 어떨까? 어디를 고쳐 쓸 때 교과서의 기술에 따를 것인가? 그런 생각을 하면서 스스로의 손으로 「본서의 상급판」 을 만들어 주었으면 한다. 그럴 때 학습자는 처음으로 '자기 말'로 다른 사람에게 수학을 전달할 수 있게 된다.
누구든지 이해는 "서서히" 진행된다. 걸음을 멈추지 않고 "계속 나아가겠다"는 의지만이 불가능을 가능하게 만든다. 백 번의 독서 자세로 이제 본문으로 어서 오세요!
부기: 이 책은, 예에 의해서 기본적인 조판, 작도의 전부를 저자 자신이 행했다. 사용한 것은 주로 조판 소프트웨어: TEX와, 통합 환경 Anaconda상의 계산 엔진: Wolfram Language 12.3(모두 무료 소프트웨어: 후자는 요등록) 이다. 마지막으로, 「SPW재단」과 「제104기생」에 의한 정신적 지원에의 사의를 적고 졸고를 마친다.
