현수교의 곡선 뒤에 숨은 수학

현수교의 곡선은 사실은 포물선

우리가 여행을 가거나 드라이브를 할 때 만나는 거대한 다리들은 강이나 바다 위를 가로지르는 케이블의 우아한 곡선 덕분에 참 아름답게 느껴집니다. 지난 주말에도 파주에서 인천 송도로 바람을 쐬러 갔습니다. 영종대교를 건너며 그 규모와 바다 위에서 바라보는 풍경에 감탄하며 드라이브를 즐겼지요. 그중에서도 영종대교의 주탑 사이를 부드럽게 잇는 케이블의 곡선은 마치 거대한 예술 작품처럼 너무나 아름다웠어요. 문득 궁금해졌습니다. 여기에도 수학이 숨어있을 테니 말이지요.

이 아름다운 곡선 뒤에는 치밀한 수학적 계산과 공학적 반전이 숨어 있습니다. 가장 먼저 짚어볼 흥미로운 사실은 현수교의 줄이 이름처럼 현수선(Catenary)이 아니라 포물선(Parabola)이라는 점입니다.

사실 수학사적으로도 이 곡선의 정체는 큰 논쟁거리였습니다. 과거 갈릴레오 갈릴레이는 양 끝이 고정된 줄이 늘어진 모양을 보고 포물선이라고 주장했지만 훗날 요한 베르누이와 라이프니츠 같은 수학자들이 하이퍼볼릭 코사인 함수(일상에서 매일 마주하는 전선주 사이 전선이 늘어뜨려져 있는 모습)를 이용해 현수선이라는 완전히 새로운 곡선임을 증명해 냈습니다.

현수선은 아무런 하중 없이 자기 무게만으로 늘어졌을 때 만드는 곡선으로 전선이나 목걸이 줄이 만드는 곡선입니다. 반면 포물선은 줄 아래에 수평으로 일정한 하중이 매달려 있을 때 만들어지는 곡선인데 우리가 학교에서 배운 이차 함수의 그래프와 같습니다.

현수교는 단순히 줄만 걸려 있는 게 아니라 그 줄에 아주 무거운 도로 상판이 매달려 있습니다. 상판의 무게가 수직 케이블을 통해 수평 방향으로 균일하게 줄을 잡아당기기 때문에 케이블의 모양은 순수한 현수선에서 포물선으로 변하게 됩니다. 결국 이름은 매달려 있는 물리적 구조를 말하고 실제 모양은 하중을 견디는 수학인 포물선을 말한다고 할 수 있습니다.

출처: 포스코그룹 뉴스룸

현수교와 사장교의 차이도 매우 흥미롭습니다. 현수교는 거대한 주 케이블을 먼저 걸고 거기서 수직으로 줄을 내려 상판을 들어 올리는 일종의 빨랫줄 방식입니다. 이때 케이블이 양쪽으로 끌어당기는 엄청난 힘을 다리 양 끝의 거대한 콘크리트 덩어리인 앵커리지가 땅속에서 버텨줘야 합니다. 상판의 무게를 지탱하는 이 거대한 케이블은 언뜻 보면 거대한 통쇠처럼 보이지만 사실은 지름 5밀리미터 정도의 얇은 강철선 수만 가닥을 촘촘하게 묶어 만든 것으로 그 강도는 상상을 초월합니다.

반면 사장교는 주탑에서 상판으로 줄을 직접 연결하는 텐트 방식입니다. 주탑이 마치 부채를 펼친 것처럼 여러 개의 줄로 상판을 직접 잡아당기며 이때 발생하는 힘을 주탑이 수직으로 꾹 눌러주며 버티기 때문에 별도의 앵커리지가 필요 없는 경우가 많습니다. 이러한 구조적 차이 때문에 현수교는 기둥 사이의 거리를 가장 길게 만들 수 있다는 장점이 있고 사장교는 직선적인 미학이 뛰어날 뿐만 아니라 수심이 깊어 앵커리지를 설치하기 어려운 지형에서도 유연하게 건설할 수 있다는 특징이 있습니다.

유달산에서 바라본 목포대교

하지만 이토록 아름답고 튼튼한 다리들도 수학적 계산에서 고려하지 못한 변수 때문에 무너지기도 했습니다. 1940년 미국의 타코마 다리는 당시 최신 공법으로 지어진 현수교였으나 설계 당시 바람에 의한 진동을 충분히 고려하지 못해 초속 19미터의 바람에 공진현상을 일으켜 힘없이 무너져 내렸습니다. 이는 공학자들에게 중력뿐만 아니라 공기역학적 안정성과 진동의 상호작용이 얼마나 중요한지 깨닫게 해 준 역사적 사건이 되었습니다.

오늘날의 현수교는 이러한 실패를 바탕으로 더욱 정교한 수학적 모델링을 거쳐 설계됩니다. 우리 주변에서도 이러한 첨단 기술의 결정체를 쉽게 찾아볼 수 있습니다. 부산의 랜드마크인 광안대교와 주탑 사이의 거리가 이순신 장군의 탄신 연도를 기념해 1545미터로 설계된 여수 이순신대교는 대표적인 현수교입니다. 현재 세계에서 가장 긴 현수교는 튀르키예의 1915 차나칼레 대교인데 주탑 사이의 거리가 2,023m(2023년 튀르키예 공화국 설립 100주년을 기념하여 만들어진 다리거든요)에 달하고 다리 전체 길이는 4.6Km에 달할 정도로 우리가 상상하는 것 이상으로 거대합니다. 한편 인천국제공항으로 가는 길에 만나는 거대한 인천대교와 서해안 고속도로의 핵심인 서해대교는 날렵한 직선 케이블이 돋보이는 사장교로서 그 웅장함을 뽐냅니다.

튀르키예 차나칼레 대교(By Glabb - 자작, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=176830057)

이처럼 현수교라고 부르지만 실제로는 포물선의 원리를 따르고 있으며 앵커리지나 주탑 중 어디로 힘을 보내느냐에 따라 다리의 성격이 완전히 달라집니다. 우리가 무심코 건너는 다리 하나에도 인류가 수천 년간 쌓아온 수학적 통찰과 공학적 고뇌 그리고 뼈아픈 실패의 역사가 고스란히 담겨 있습니다.

수학은 단순히 책 속에만 머무는 학문이 아니라 거대한 바다를 가로지르고 수만 톤의 무게를 지탱하는 가장 강력하고 튼튼한 건축자재인 셈입니다. 다음에 바닷가 다리를 지나갈 일이 있다면 옆 사람에게 슬쩍 저 부드러운 곡선 뒤에 숨겨진 현수교의 2차 함수 원리와 사장교의 직선미에 대해 이야기해 보는 것은 어떨까요. 여러분의 여행이 지적인 즐거움과 새로운 시선으로 더욱 풍성해지길 바랍니다.

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저 역시 문과생이지만 수학과 과학에 관심이 많습니다. 독자 여러분과 함께 이과의 세계를 훔쳐보고 싶습니다. 궁금하신 내용이 있으면 언제든 댓글을 달아 주세요. 함께 이과생들의 머릿속을 들여다볼 준비가 되어 있으니까요.