제5장: 복소수평면과 순환 (21)

무엇으로 이루어진 차원이 4차원 시공간을 표현할 수 있는가

(추후설명 5)

그리고 위의 모든 내용들을 복소수 평면에서 이해할 수 있습니다. 기본적으로 4차원 시공간 순환파(우주)에 장력을 형성하는 블랙홀이 어떻게 만들어지며 시공간에서 어떤 의미를 가지고 있는지 표현할 수 있는데 실체를 의미하는 1과 1에 대응되는 i의 값을 연결하는 원의 형태가 그것입니다.

먼저 복소수평면에 대해 조금 더 알아보면 허수축 없는 실수축으로 이루어진 평면에서는 실수 간 발생될 수 있는 상호작용에서 서로 만나지 못하거나, 한 점 이상으로 만난다고 해도 서로가 확실하게 어떤 형태를 가지고 있는지 알 수 없습니다. 각각이 어떤 요소들을 포함하고 있는 n차 방정식인지에 관하여 서로가 인접해 있다고 해도 그 어떤 것도 확정 지을 수 없는 것입니다. 즉, 서로가 어떤 형태와 움직임을 갖고 존재하는지에 대한 증명을 실수축으로만 이루어진 시공간에서는 할 수 없는 것입니다.

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*기본적으로 실수(x) 값에 어떤 실수를 가지고 연산을 해도 결괏값에 해당되는 모든 실수들은 직선을 그리며 한 방향으로 나아간다. 실수 간의 상호작용은 기본적으로 직선만 만들 수 있기에 같은 기울기를 가지고 있는 실수축과는 절대 만나지 못하는 평행선을 그리는 것이다. 여기서 변화될 수 있는 실수 x값에 따른 기울기 값이(변화량) 다르면 다른 실수가 만든 선과 만날 수 있지만 그것은 한 점에 불과하다. 한 점으로는 한 직선과 맞닿아 있는 직선이 어떤 기울기를 가지고 어떻게 형성되어 있는지 전혀 알 수 없다는 점에서 무엇인가 존재하기는 하지만 그것이 무엇인지 전혀 증명할 수 없는 것이 된다. 이는 하나의 실수 값에서 발생하는 다른 실수와의 상호작용(사칙연산)이 다른 실수 값의 상호작용을 담아내는 다른 직선들을 전혀 증명할 수 없는 것을 의미한다.

또한, 같은 실수가 계속해서 곱해지는(실수 간의 상호작용이 지속되는) 지수함수에서도 같은 x(변화하는 실수 값)에 다른 상수 값이 조금이라도 존재한다면 이 두 선은 결코 만나지 못하는 평행선과 같은 상태를 이루게 된다. 다른 실수의 값이 없다 해도 x에 조금이라도 실수가 들어가면 두 지수함수는 지수가 0일 때만 만날 뿐 다른 부분에서는 절대 만나지 않게 된다. 어떤 방식으로든 지수함수가 이루는 존재는 서로의 형태와 움직임을 증명하지 못하는 것이다. 

그림 113

2차, 3차, 4차, 그 이상의 차수로 이루어진 방정식을 만들어 어떤 선과 맞닿는 점의 개수를 늘린다고 해도 그것이 정확히 어떤 형태를 가지고 있으며 어떤 방정식을 가지고 움직이는지는 결과적으로 서로 전혀 알 수 없다. 예를 들어 하나의 4차 방정식의 선이 존재하는 실수평면에 다른 선들이 존재하고 이 선이 4차 방정식이 만들어낸 선에 4개의 점으로 겹친다고 했을 때 존재할 다른 선과 각각의 선들이 결과적으로 어떤 형태와 움직임을 갖고 있을지 알 수 없는 것이다. 다른 선이 어떤 방정식을 가지고 있고 또 어떤 점에 어떤 선이 맞닿아 있는지 알 수 없을뿐더러 단 ‘하나’의 형태와 움직임도 단정 지을 수 없기 때문이다. 즉, 그 어떤 형태와 움직임을 가진 존재에 대해 실수축으로 구성되어 있는 (방정식으로 형태와 움직임을 갖는) 모든 존재들은 서로의 존재를 증명할 수 없는 것이다. 같은 실수 차원에 다양한 방정식으로 형태와 움직임을 갖는 존재들이 서로가 갖고 있는 하나의 실수 값과 그 실수의 변화량을 담고 있는 선(형태/공간)이 다른 실수 값들의 변화(움직임/시간)를 전혀 증명하지 못하며 지속적인 상호작용도 하지 않는 것이다.

여기서 각 실수들은 우리가 빛을 통해 어떤 존재를 인지할 때 사용되는 개념으로서 빛으로 서로 직접 상호작용이 가능하다고 할 수 있다. 같은 input(실수) 값에(=같은 외부적 힘에 대해) 대해 똑같은 형태(output 실수)를(=같은 반응을 보인다.) 보이는 것으로 실수(input 값)에 대한 변화량(input과 output의 인과관계)이 우리가 일상에서 서로의 존재를 인지할 때 근본적/절대적으로 받아들여지는 불문율을 따르는 것이다. 즉, 실수와 그 실수를 담아내는 방정식은 빛으로 표현하고 확인할 수 있는 원자와, 각 원자들이 서로 다른 상태(실수, 기울기)를 갖고 다른 원자(실수)와 상호작용하는 것을 담아냄으로써 존재하고 있는 것이다. 이는 이 실수 축으로만 이루어진 n차원에서 우리가 일상에서 존재한다고 인지되는 모든 존재들(원자들)은 상호작용을 통해서 그들의 움직임과 형태를 증명하지 못함을 의미한다. 각각의 실수를 담고 있는 방정식이 서로의 형태와 움직임을 전혀 증명하지 못하는 것으로 (실수 1이라고 할 수 있는) 기본적인 입자 하나가 다른 입자와 함께 지속적인 상호작용으로 통해 다양한 원자들의 형태와 움직임을 이룰 수도, 증명할 수도 없는 것이다. 이는 모든 것들이 서로 원형으로 순환을 이루면서 지속적으로 정보를 주고받아 하나의 존재로 다른 존재를 포함해 전체를 증명할 수 있는 순환에 부합되지 않는다. 현재 인류가 실수차원에서 나타내고 있는 수학적/물리적 형태와 움직임은 어떤 작용에 대해 모든 형태와 움직임을 파악한 후에 나오는 결과를 토대로 다양한 수식적 형태와 움직임을 만들어 나타낼 뿐 그 결과에 따른 방정식으로 다른 방정식의 형태와 움직임을 증명하지는 못하는 것이다. (이에 대한 자세한 설명과 예시는 뒤의 ‘리만제타함수’에서) 우주와 자연을 이루는 요소를 통해 자연스럽게 도출된 것이 아닌 우리가 인지한 결과를 기반으로 실수들을 조합하여 다양한 공식을 만든 것이며 상대적으로 매우 고정된 시공간에서 존재하는 우리와 일상의 다양한 상호작용은 굉장히 작은 오차범위 내에서 들어맞았던 것이다.

그림 114

* 지수함수의 의미

지수함수란 하나의 실수가 같은 실수 값에 얼마나 곱해졌는지를 나타낸다. 같은 원자/양자들의 상호작용을 나타내는 것으로 지수 부분은 다양한 상황에 놓인 원자의 형태와 움직임이 가진 힘의 크기와 방향을 나타내게 된다. 실수로 따지면 1과 같은 기본 입자와 힘이 서로 끊임없이 직접적으로 상호작용하면서(곱해지면서) 지금과 같은 다양한 형태와 움직임을 만들어내는 모습을 지수함수는 담아내는 것이다. 어떤 방향과 크기로 원자(실수)들이 서로 상호작용을 하는 지를 나타내는 것으로 지수함수의 특징은 자연의 규칙을 담아내는 자연로그를 증명한다.

이런 실수축에 상반된 형태의 허수축을 대입하면(=서로 수직 된 축으로 2차원 평면을 이룬다면) 직선으로 이루어져 있는 실수축과 하나로 상호작용하면서 지속적으로 완벽한 원형의 모습을 만듭니다. 실수축에서 실수끼리 연산한 것과 같이 실수축과 허수축이 함께 중첩되고 얽혀 있는 차원에서 실수 값과 허수가 같이 연산되는 과정은 원형과 동시에 파동을 가장 기본적인 지수함수에서 형성하는 것입니다. (오일러 등식) 

그림 115

여기서 형성되는 파동은 무한히 뻗어 나가게 되며, 동시에 다른 실수축과 그에 대응되는 허수축의 계산 모두 원과 파동을 만들게 됩니다. 이렇게 모든 실수축에 대응되는 허수축은 input 값에 대한 output을 정의할 때 기본적으로 원과 파동을 만들기 때문에 한 실수에 대한 원과 파동은 다른 원, 파동과 최소한 두 개의 점에서 만나게 됩니다. 이는 복소평면에서 만들어지는 하나의 원과 그 파동은 다른 실수에 대한 방정식(형태와 움직임)을 증명할 수 있음을 의미합니다. 모든 방정식이 기본적으로 원형과 파동으로 이루어져 있다면 2점이 맞닿는 것만으로도 그 형태와 움직임을 모두 증명할 수 있기 때문입니다. 그리고 허수 i의 값은 실수와 상호작용할 때(곱해질 때) 4분면에 대한 대칭성을 이루며 원을 형성합니다. 상하, 좌우 모두 완벽한 대칭성을 이루는 형태와 움직임을 지속적인 상호작용에서 끊임없이 이루는 것이며, 이 과정에서 원과 파동을 이루는 것입니다. 이는 순환에 따라 모든 존재들이 상반된 형태와 움직임으로 끊임없이 상호작용하면서 ‘하나’의 온전한 원을 형성하여 모든 존재를 이루고 있음에 부합됩니다.  

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*복소평면에 존재하는 모든 방정식과 그의 해는 지수 부분에 허수가 곱해짐에 따라 하나의 실수에 대한 다양한 크기의 원을 형성한다. 이는 모든 방정식에서 이루어지는 것으로, 무한한 크기의 원을 가질 수 있는, 하나 이상의 허수와 실수를 담고 있는 방정식(원)은 다른 수에서 만들어질 수 있는 모든 원(크기)을 증명할 수 있음을 의미한다. 왼쪽 예시를 보면 실수 4에서 만들어지는 원의 크기와 만들어내는 파동이 실수 0과 대응되는 허수가 만들어 낸 원을 증명할 수 있으며 이는 0에 대응되는 원도 마찬가지인 것이다.

또한, 두 원이 만나지 않는다고 해도 원을 기준으로 무한히 나아갈 수 있는 파동(= 퍼져 나가는 빛)은 복소수 평면 위에 존재하는 모든 원, 파동과 2점 이상 맞닿게 되므로 서로의 형태를 증명할 수 있게 된다. 이러한 원과 파동의 형태로 복소수 평면은 가득 채워지게 됨으로써 존재하므로 그 안에 존재하는 모든 존재들은 서로에게 지속적으로 영향을 주고받으면서 서로를 증명할 수 있는 것이다. 즉, 복소평면은 순환의 조건에 부합되는 것으로 시공간의 형태와 움직임을 담아낼 수 있는 것이다.

*위에서도 설명했듯이 우리는 진정한 허수축만의 연산(변화되는 허수 값에 대한 허수 결과 값)을 알지 못한다. 가장 기본적인 허수(i)만을 고려하여 존재하는 (실수를 기준으로 하는) 실수축의 연산은 가능하지만 허수축의 연산과 동시에 이루어지는 실수축의 연산은(ex 은하와 Void의 상호작용을 이루는 힘) 알 수 없는 것이다. 우리는 빛의 시공간 위에 있는 아주 작은 존재이며 굉장히 안정된 채로 유지되기 때문이다. 그렇기에 인류가 정의하는 복소평면이라 할지라도 완벽하게 시공간의 형태와 움직임을 표현할 수는 없는 것이다. 다만 허수 i가 실수 1과 온전히 상호작용하여 오일러 항등식이라고 하는 (모든 존재의 근간이 되는) 원과 파동을 이루는 것은 분명하므로 4차원 시공간 단면을 허수 i와 실수 1이 만들어 내는 원형의 파동으로서 표현할 수 있을 것이다. 

그림 117

*복소평면에서 허수와 실수가 이루는 지수함수는 input 값에 대한 output 값의 이동에 따라 축을 원형으로 이동시키면서 완벽한 구의 형태를 이룬다.

그림 118

위의 복소평면은 허수와 실수의 상호작용에 대한 결괏값을 나타내는 복소평면으로, 허수축을 공유하면서 이를 기준으로 대칭을 이루고 있다. 여기서 음의 실수 방향으로 넓어지는 파동의 형태를 띠는 부분과 양의 실수 방향으로 넓어지는 파동의 형태를 띠는 부분을 각각 반물질과 물질 시공간 파동으로 생각해 보면 같은 암흑(허수축)을 공유하면서 대칭되는 방향과 형태를 가진 채 파동이 나아가는 모습이 부합된다. 허수를 암흑, 실수를 빛으로 했을 때 암흑과 빛이 서로 상호작용하여 만들어진 결과에 대한 복소평면의 모습이 반물질과 물질 파동의 상반된 형태와 움직임을 나타내고 있는 것이다. 

*복소평면의 n차 함수의 근에 관해서 (Fractal)

실수 평면에 존재하는 어떤 다항식을 미분하여 선형 근사치를 반복적으로(Newton’s Method으로 각 실수축에 대한 방정식의 선형 근사치를 구한다.) 풀 때는 그 한계점을 분명히 갖고 있다. 일단 실수 평면에서 5차 이상의 다항식의 근을 구하는 것은 불가능하다. 또한, Newton’s Method로 근사치를 구하려고 할 때 초기 가정치 x를 근에 충분히 가깝게 하지 않으면 수렴하지 않는다. 이는 어떤 실수 방정식이 다른 수식과의 상호작용에서 자신이 갖고 있는 모든 해를 증명할 수 없음을 의미한다. 다른 존재에 의해 자신의 존재조차 온전히 증명할 수 없는 것이다. 

그러나 복소수 평면에서는 n차 다항식에 Newton’s Method를 사용하여 근삿값을 추정할 때 평면에 존재하는 모든 초기 추측을 적용해 보면 Fractal 구조를 형성한다. 그리고 계속해서 근사 값을 추정하기 위해 스텝을 더할수록 Fractal 구조는 원본 Fractal에 더 가까워진다.

그림 119

이 Fractal 구조는 모든 경계에서 무한히 같은 형태가 반복된다는 특징을 가지고 있다. 어떤 경계에서도 정확하고 깔끔하게 떨어지는 선은 존재하지 않으며 동시에 n차항의 해의 개수 n개가 경계에 항상 존재한다. 이는 순환에 따라 암흑과 빛, 시간과 공간, 반물질과 물질이 그 경계에서 딱 떨어지는 것이 아니라 항상 중첩되고 얽혀 있는 상태로 존재하고 있음과 부합된다. 또한, 이 Fractal 구조는 자기 유사성을 띄고 있으며 실수평면과는 다르게 매우 복잡한 형태를 취하고 있다. 이는 순환에 따라 같은 형태와 움직임을 공유하면서 수많은 복잡계를 이루고 있는 4차원 시공간(우주)의 모습에 부합된다. 무엇보다 실제로 이 Fractal 구조는 우리의 신체, 자연, 우주에서 쉽게 볼 수 있다. 정리하면 복소수 평면에서 존재하는 n차 다항식(세상의 모든 형태와 움직임은 모두 n차 다항식으로 구성되어 있고 표현될 수 있다.)은 갖고 있는 다양한 해에 대하여 자신이 존재하는 평면 전체에 Fractal 구조를 형성하고 있는 것으로, 이 구조는 실제로 시공간의 형태와 움직임을 증명하는 것이다. 

그림 120

그 외 함수의 형태에서도 n차 다항식은 항상 복소평면에서 Fractal 구조를 이루고 있다. 각 함수의 동형 역학(Holomorphic Dynamics)에 따라 발산과 수렴, 불규칙과 규칙의 특징을 가지고 있는 모든 함수는 복소평면에서 굉장히 chaos적인 모습을 보이지만 그 특징을 나누어 표현하면 다양한 시공간의 형태와 움직임을 담아내는 다양한 Fractal 구조를 형성하는 것이다.

이는 모든 부분에서 항상 원과 파동을 갖고 있는 하나의 존재를 통해 전체의 형태와 움직임을 알 수 있는 순환을 정의하는 특징에 복소평면의 특징이 부합됨을 의미한다.  복소평면에서 n차 방정식이 이루는 Fractal 구조는 이 세상을 이루는 모든 형태와 움직임이 전부 자기 유사성을 가진 채 거대한 하나의 복잡계를 이루면서 연결되어 있음을 나타내고 있기 때문이다. 모든 것이 순환의 기본적인 형태와 움직임을 공유하는 것처럼 복잡계를 이루는 모든 형태와 움직임이 곧 복잡계 전체의 형태와 움직임을 공유하고 증명하는 것이다.

참조: https://www.youtube.com/watch?v=-RdOwhmqP5s&list=LL&index=9

참조: https://www.youtube.com/watch?v=LqbZpur38nw