함수(Function)의 정의

수학을 시작하는 사람을 위하여

수학을 포기한 사람은 함수라는 용어가 매우 낯설 것이고, 수학을 포기하게 된 이유가 함수 때문일 수도 있다. 함수는 수학에 있어서 매우 중요한 자리를 차지하고 있다. 아주 간단한 예를 들면, 함수는 입구와 출구가 달린 비밀상자와도 같은 것이다.

그림. 함수와 상자. 출처 : 나무위키

입구에 어떤 수를 집어넣으면 출구로 어떤 수가 나온다. 그런데 입구로 들어간 수와 출구로 나온 수의 관계는 모두 어떠한 규칙을 가진다. 사실 함수의 함은 상자를 의미하는 한자어이다.

대개 입구로 들어가는 수는 어떤 집합을 이룬다. 집합이란 수들의 묶음이며 우리는 그 집합의 성질도 정의할 수 있다. 예를 들어, 함수의 개념을 초등학생들에게 설명하고자 하면 입구로 들어가는 수들은 자연수의 집합이어야 한다. 초등학생들은 아직 유리수와 실수의 개념을 모르기 때문이다. 출구로 나오는 수 또한 자연수의 집합이라고 하자. 그렇게 되려면 상자 안에서 벌어지는 일은 자연수를 자연수로 만드는 과정이어야 한다. 초등학교 때 수학을 포기한 사람을 위해, 자연수는 {1, 2, 3, 4, ...}인 수의 집합이다.

상자 안에서 벌어지는 일이 '입구로 들어온 수에 무조건 4를 더해라' 라고 하면 출구로 나오는 수는 (입구로 들어온 수 + 4)가 될 것이다. 입구에 36을 넣으면 출구에 36 + 4, 즉 40 이 나온다.

입구로 들어간 수와 출구로 나오는 수는 서로 1:1 대응을 한다. 만약 하나의 수를 입구에 넣었는데 두 개의 수가 상자 출구로 나온다면 우리는 이 상자를 함수라고 부를 수 없다. 함수 상자에서는 한 개의 수가 들어가면 반드시 한 개의 수가 나와야 한다. 이것은 약속이다. 가만히 생각해 보면 하나의 수를 어떤 방법으로 엎어지고 메치더라도 반드시 하나의 결과물이 나오게 되어 있다.

조금 더 고상한 표현을 사용하면 함수를 f(x)라고 쓸 수 있다. f는 function의 약자로 이 f가 상자이다. 여기서 x는 입구로 들어간 수이다. 그렇다면 출구로 나오는 수는 f(x)인가? 바로 그렇다. f(x)는 또 하나의 수이다. 아직 결정된 수가 아니므로 그냥 f(x)의 형태로 놔두는 것뿐이다. 함수가 정해지고 x 값이 정해지면 f(x)는 숫자가 된다. 위 상자 예를 f(x)의 형태로 나타내면 다음과 같다.

f(x) = x + 4

f(x)가 x + 4 와 같은 값이라는 말이다. x에 36을 넣으면,

f(36) = 36 + 4 = 40

이런 식으로 아래와 같은 계산을 할 수 있다.

f(1) = 1 + 4 = 5

f(2) = 2 + 4 = 6

f(3) = 3 + 4 = 7 ....

여기서 x 값에 해당하는 1, 2, 3 ...은 자연수의 집합으로 앞에서 내가 정의하였으므로 '정의역'이라 부른다. 정의역은 정의하기에 따라 음수를 포함한 정수가 될 수도 있고, 홀수 또는 짝수가 될 수도 있다. 그것을 정의하는 건 내 마음이다. 함수에 의해서 계산되어 나오는 5, 6, 7 ...도 자연수의 일부이다. 이렇게 f(x)에 의해 계산된 값들의 집합을 '치역'이라고 부른다. 정의역의 개별 값들과 치역의 개별 값들은 서로 1:1 대응한다. 정의역을 구성하는 원소의 개수와 치역 원소의 개수는 같다. 정의역에서 꺼내어져 상자 안으로 투입될 숫자는 매번 바뀔 수 있다. 그래서 이 x 값을 우리는 '변수 (Variable)' 라고 부른다.

그러면 이제 함수의 다양한 꼴을 보고 이것들이 함수라는 것을 알아낼 수 있을 것이다.

f(x) = x² - 2x +1 : x를 변수로 하는 함수

f(s) = ∫ (s² + 2) ds : s를 변수로 하는 함수

f(t) = 1 - t² + x : t를 변수로 하는 함수

마지막 식 f(t) = 1 - t² + x 에서 x는 함수와 관계 없는 그냥 문자이다. 함수 상자 입구에 넣어지는 수는 t 하나뿐이다.