우주원리와 프리드만 방정식 (2)

아인슈타인이 던져 올린 사과: 뉴턴역학으로 이해하는 우주의 진화

스티브 잡스의 애플만큼이나 유명한 뉴턴의 사과는 그에게 만유인력의 법칙이라는 영감을 준 것으로 널리 알려져 있다. 우리도 우주의 운동을 사과의 운동에 비유해서 우주론의 기본이 되는 프리드만 방정식을 한번 이해해 보도록 하자.

사과를 던져 올리는 아인슈타인 (ChatGPT로 만든 가상 이미지)

풀밭에 누워 있는 아인슈타인이 던져 올린 사과를 한번 생각해 보자. 아인슈타인이 던져 올린 사과는 그의 손을 떠나 하늘로 올라갔다가 다시 땅으로 떨어질 것이다. 이 사과의 운동을 지배하는 물리 법칙을 이용하면 일반 상대성 이론을 몰라도 프리드만 방정식을 이해할 수 있다.

이제 우주의 운동을 구의 팽창 혹은 수축에 비유해 보기로 한다. 팽창하거나 수축하는 우주의 운동을, 시간에 따라 크기가 변하는 구의 껍질 (구각)의 운동으로 생각하기로 하자. 그리고 어떤 시간 t에서 반지름이 a(t)인 구각이 운동하는 속도와 가속도를 표현하는 변수를 위의 수식 (1)과 같이 정의하기로 한다 (속도는 시간에 대한 1차 미분, 그리고 가속도는 시간에 대한 2차 미분으로 되어있음을 확인하자). 그러면 이들을, 크기가 a인 우주의 운동 속도와 가속도로 생각할 수 있다.

다시 아인슈타인이 던진 사과로 돌아가서 사과의 운동을 지배하는 물리적 법칙은 원리는 두 가지이다. (1) 주어진 순간에 사과에 작용하는 만유인력의 법칙, (2) 사과가 가지는 운동에너지와 중력 위치 에너지의 합인 에너지 총량이 보존된다는 에너지 보존 법칙이다. 우주로 비유한 구각의 운동을 중력과 에너지 보존 법칙을 따르는 사과의 운동으로 생각하면 아래와 같은 우주의 운동 방정식을 얻을 수 있다 (수식 2,3,4,5).

수식(2)로 표현한 구각의 가속도는 그 구각 안에 담긴 질량을 구각의 반지름의 제곱으로 나눈 값이다. 뉴턴의 만유인력 법칙에 따라 운동하는 질량이 m인 사과가 질량이 M인 지구의 지표에서 거리 a 만큼 떨어져 있을 때 받는 힘(F=-GMm/a^2)을 생각하면 될 것이다. 수식(3)은 질량이 M인 물질을 둘러싼 질량이 m인 얇은 구각이 어떤 속도를 가지고 움직일 때 만족하는 에너지 보존 법칙을 표현한 것이다. 사과가 지구 중력의 영향하에 일정 속도로 운동할 때 운동에너지, 1/2 * m(da/dt)^2 와 중력 위치 에너지, -GMm/a 의 합은 전체 에너지 E와 같다 (에너지 보존 법칙). 이제 수식 (3)을 모양을 바꾸어 정리하면 수식 (4)를 얻는다. 수식(4)에는, 관측자로부터의 거리가 증가함에 따라 늘어나는 팽창 속도 (팽창률)의 비례관계를 나타내는 비례상수인 허블 상수 H가 포함되어 있고, 허블 상수를 이용해서 정의할 수 있는 임계밀도로 변수들을 치환해서 수식을 다시 쓰면 오메가(Ω) 변수가 들어간 수식(5)을 얻는다. 여기서 오메가는 우주의 에너지 밀도를 임계밀도로 나눈 값이다.

수식(5)을 살펴보기로 하자. 오메가 값이 1보다 크냐, 작으냐, 아니면 정확히 1이냐에 따라 좌변의 총 에너지 값은 음수가 되거나 양수가 되거나 0이 된다. 이게 무슨 뜻일까? 물리 수업의 시간에 배운 내용을 생각해 보면, 사과를 던졌을 때 사과가 다시 땅으로 떨어지려면, 운동에너지 보다 중력 위치 에너지가 더 커야 한다. 즉 총에너지는 음수가 되어야 한다 (E<0). 반대로 사과가 지구를 중력을 벗어나 지구를 탈출하려면 운동에너지가 중력 위치에너지보다 더 커야 한다. 즉 총에너지는 양수가 된다 (E>0). 마지막으로 운동에너지가 중력 위치에너지와 절묘하게 균형을 이루면 (E=0), 사과는 지구로 떨어지지도, 지구를 벗어나지도 않는다. 이 세 가지 경우가 우주의 운명을 결정한다. E<0 라면, 우주는 어느 정도 올라갔다 땅으로 다시 떨어지는 사과처럼 팽창을 하다가 언젠가는 수축을 하게 될 운명이고 (닫힌 우주라고 부른다), E>0라면, 우주는 지구 밖을 벗어나는 사과처럼 영원히 팽창하게 될 것이다 (열린 우주라고 부른다). 마지막으로 우주의 평균 밀도가 임계 밀도와 같으면, 팽창속도가 줄어들긴 하지만 계속 위로 올라가는, 하지만 지구의 중력을 완전히 벗어날 수 없는 사과와 같은 상태가 된다 (평탄 우주라고 부른다). 따라서 우주의 에너지 밀도가, 평탄한 우주가 되기 위한 조건인 임계밀도에 비해 큰지, 작은지, 아니면 같은지를 나타내는 오메가 값이 얼마인지를 결정하는 일은 초기 우주론 연구에서 가장 중요한 문제였다.

닫힌 우주, 열린 우주, 평탄 우주의 기하학적 표현 https://astro.kasi.re.kr/learning/pageView/6383

여기서, "닫힌, 열린, 평탄" 우주라는 말에 주목해 보자. 이는 공간의 곡률에 의해 결정되는 기하학 용어이다. 그런데 "닫힌, 열린, 평탄"을 결정하는 것은 에너지 값 (E<0, E>0, E=0)이다. 맞다. 우주공간의 기하학 (곡률)은 우주의 에너지와 밀접한 관련되어 있다. 지난번 글에서 얘기한 아인슈타인의 일반 상대성이론 장 방정식이 말하는 바가 바로 이것이다 (좌변의 항들은 기하학에서 정의된 곡률과 관련된 양이고 우변의 항은 물리량인 에너지이다). 위의 그림은 "닫힌, 열린, 평탄"한 구조를 가지는 2차원 공간을 이용하여 우주공간의 기하학적 구조를 비유적으로 표현한 것이다. 우리는 지금 2차원 공간을 3차원에서 그려 놓고 바라보기 때문에 2차원 공간의 전체적인 구조를 시각화해서 이해할 수 있지만, 2차원 공간 표면에 붙어살며 표면을 벗어날 수 없는 존재들 (예를 들어 2차원 표면에서 기어 다니는 개미들)은 이 "닫힌, 열린, 평탄"한 구조를 가지는 2차원 공간 전체의 모양 (수학에서 토폴로지라고 불리는 분야의 연구주제가 바로 공간의 전체구조를 이해하는 것이다)을 머릿속에 그릴 방법이 없다. '일반 상대성 이론을 이해하는 굉장히 똑똑한 2차원 생명체'가 할 수 있는 방법은 미분기하학을 이용하여 어떤 지점에서의 곡률을 구해 국소적으로 나마 2차원 공간이 열린 공간인지 닫힌 공간인지를 알아보는 일을 공간의 모든 위치에서 수행하는 것이다. 하지만, 이 역시 그리 현실적인 방법이 못된다. 따라서 "균일-등방"인 단순한 우주원리를 빌어서 이 2차원 공간의 곡률도 위치에 따라 변하지 않는 동일한 값을 가진다고 가정하지 않는다면, 현실적으로 문제에 접근할 수가 없다. 마찬가지로 3차원 공간에 사는 우리 인간도 3차원 공간의 전체적인 기하학적 모양을 머릿속에 그려볼 방법이 없기에 열린 우주, 닫힌 우주, 평탄 우주가 어떻게 생겼는지는 2차원 공간을 빌어 비유적으로 이해할 수밖에 없고, 공간의 모든 곳에서 곡률을 재어 3차원 공간의 기하학적 구조를 결정하는 것은 현실적으로 불가능하기 때문에, 우주론을 연구하는 천문학자들은 우주 원리를 따라, 우주 공간의 곡률은 어디서나 똑같은 값을 가진다는 암묵적인 가정을 한다 (이 가정이 옳다는 증거는 없지만 그 반대의 가정 역시 확인하기는 어렵다, 여러분들이라면 어떤 가정을 바탕으로 우주론을 연구하겠는가?).

이제 수식 (2)와 (3)의 모양을 바꾸면 1922년 프리드만이 유도한 방정식 두 개를 얻을 수 있다. 이때 k는 우주 공간의 기하학적 구조가 정해지면 정해지는 상수이다. 원래 k는 일반 상대성 이론에서 등장하는 공간의 곡률을 결정하는 상수이며, 뉴턴역학만으로 엄밀하게 그 존재를 설명하는 것은 불가능하다. 따라서, 모든 존재는 에너지로 치환할 수 있다는 상대성 이론의 결론에 따라, 우주 공간의 기하학적 곡률도 에너지로 환산할 수 있다는 점을 받아들여 총 에너지 E대신 k가 들어간 표현식으로 바꾸어 쓰기로 한다.

위의 식은 우주의 크기 a가 변하는 속도와 가속도에 대한 방정식이다. 따라서 우주 초기 상태의 크기가 아주 작다고 하고 그 값을 이용하면, 매 순간 가속도를 이용하여 속도를 업데이트하고 업데이트된 속도를 이용하며 a값을 업데이트하는 방식으로 시간에 따른 우주크기의 변화를 계산할 수 있다. 아래의 그림은, 시간에 따른 우주의 팽창 혹은 수축에 따라, 은하 간 평균 거리가 어떻게 변해가는지를 몇 가지 종류의 오메가 값에 따라 프리드만 방정식을 이용하여 계산한 것이다 (우주의 크기의 시간에 따른 변화로 생각해도 무방하다). 공간적으로 평탄한 우주를 만들기 위한 임계밀도에 비해 우주의 에너지 밀도가 어느 정도 인지를 나타내는 오메가 값 (수식(5))에 따라 우주는, 팽창하다가 수축하거나 (Ω>1, 닫힌 우주), 서서히 줄어드는 팽창 속도를 가지면서 계속 팽창하던지 (Ω=1, 평탄 우주), 아니면 정해진 팽창 속도로 영원히 팽창할 것이다 (Ω<1, 열린 우주). 참고로, 물질이 아예 없는 우주 (Ω=0)와 우주상수가 있어 가속 팽창을 하는 우주 (빨간색 곡선)의 크기변화도 참고로 보여 준다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expansion_of_the_universe#Dynamics_of_cosmic_expansion

프리드만 방정식에서 우리는 두 가지 점에 주목해야 한다. 첫째. 1922년 프리드만이 유도한 방정식에는 원래 우주상수가 없다. 둘째, 프리드만 방정식은 위에서 보다시피 시간에 따라 그 크기가 변하는 동적인 우주를 만들어 낸다. 아인슈타인은 직접 장방정식을 풀어 해를 구하고 이를 바탕으로 우주 모형을 제시하지는 않았지만, 1915년 그가 발표한 일반 상대성 이론에서는 균일하게 물질이 채워져 있는 무한한 우주가 존재할 수 없다는 사실을 이미 알고 있었다. 왜냐하면 물질의 존재에 따라 시공간이 반응한다는 일반 상대성 이론의 결론에 따르면, 무한한 공간에 균일하게 들어차 있는 물질은 시공간을 변화시킬 것이고 변화한 시공간에 따라 움직이는 물질은 더 이상 균일한 분포를 가질 수 없음이 분명하기 때문이다 (공간상에서 균일한 물질 분포를 가정하여 우주원리를 만족시키려 하는 순간 우주 안의 물질들은 더 이상 가만히 있질 못하고 움직이게 될 것이다). 이를 해결하기 위해서 아인슈타인은 물질이 균일하게 들어찬, 하지만 정적인 우주를 만들고자 1917년 논문에서 우주상수를 도입하기에 이른다. 우주 상수는 주어진 경계 조건에 따라 임의의 값을 가지는 일종의 적분상수과 같아서, 일반 상대성 이론의 장 방정식에 있어도 없어도 그만인 상수이다 (우주 상수의 값이 얼마이든 상관없이 장 방정식은 성립한다). 이제 아인슈타인이 도입한 우주상수 Λ를 더해서, 우주상수가 없던 원래의 프리드만 방정식을 다시 유도하면 아래와 같은 방정식을 얻는다 (더 이상 자세한 유도과정을 설명하긴 어려우므로, 있어도 없어도 그만인 상수하나를 더해서 만들었다고 생각하자). 아래의 프리드만 방정식에서 우변에 보이는 모든 항들은 일종의 에너지 밀도로 간주할 수 있다 (물질과 복사 에너지, 곡률 에너지, 진공 에너지로 불리기도 하는 우주 상수에너지). 나중에 우주의 내용물에 관해 얘기할 때 이 프리드만 방정식을 다시 끄집어내어 얘기를 해야 하니, 이점을 기억해 주면 좋겠다.

일단 우주 상수를 빼고 위의 수식 (8)과 (9)를 살펴보면, 우주 안에 물질과 에너지가 있는 한, 우주의 운동 가속도는 0이 아니고 속도도 0이 아니다. 즉, 우주는 가만히 있는 상태가 아니라 팽창 혹은 수축을 해야만 한다. 그렇지만 '적당한' 우주 상수 값을 더하면 물질-에너지 효과를 상쇄함으로써 운동속도와 가속도가 0이 되는 상태의 우주를 만들 수가 있다. 하지만, 도대체 어떤 물리적 과정이 우주 상수를 우주의 에너지 밀도와 균형을 이루어 정적인 우주가 되도록 (우주의 가속도와 속도를 나타내는 수식(8)과 (9)의 우변이 0이 되는 조건) 만들었는지 자연스럽게 설명하기 어렵다. 또한 우주상수와 에너지 밀도사이의 균형이 아주 조금만 어긋나도 (가속도와 속도가 정확히 0이 아니게 되면) 우주는 팽창 혹은 수축을 해야만 한다. 아인슈타인이 우주상수를 도입해 가면서까지 만들어내려 한 정적인 우주는 아이러니하게도, 마치 말안장 위에 올려놓은 공처럼 불안정한 상태에 놓여 있었다. 아인슈타인 역시 물리적 실체가 없는 우주상수를 도입한 것이 억지스러운 일이라는 사실은 본인이 더 잘 알고 있었고 실제로 이를 썩 맘에 들어하지 않았다. 하지만, 우주상수를 이용하여 억지로 만들어낸 느낌이 없지 않아 있는 정적인 우주를 고려한 나름의 이유가 있었다. 그 당시 알려져 있던 우리 은하 (그때까지만 하더라도 대다수의 천문학자들에게 우주라 함은 우리 은하가 전부였을 때였다) 안의 별들은 대부분 균일한 시선 방향의 속도 (대략 20km/s)를 가지고 있었고 큰 규모의 공간상에서는 별들의 운동 상태가 공간에 따른 큰 변화가 없는 정적인 모습이었다. 더 나아가 좀 더 "철학적인 관점"에서 살펴보면, 관찰자의 운동이 다른 물체에 대해서 상대적이라는 대원칙을 바탕으로 세워진 그의 상대성 이론이 동적인 우주를 가정할 경우, 특정 방향을 따라 팽창 혹은 수축하는 "이 세상의 전부"인 우주의 운동을 판단할 기준이 되는 또 다른 상대적인 대상이 있어야 하기 때문에 상대성 이론의 대원칙과는 잘 어울리지 않아 보였다.

그런데 바로 젊은 물리학자 프리드만이 1922년과 1924년 논문에서, 우주 상수를 쓰지 않고, 팽창 혹은 수축하는 동적인 우주가, 균일한 물질 분포를 가지면서도 일반 상대성 이론의 장 방정식을 만족한다는 사실을 보인 것이다. 이게 도대체 무슨 소리인가? 아인슈타인은 공간자체가 팽창한다는 생각을 하지 못하고 공간 안에서의 물질들의 이동만을 생각하다 보니, 공간상에서 균일한 물질 분포를 유지하기 위해서는 물질들의 공간 안에서의 이동을 막고 정적인 상태를 유지시킬 수 있는 우주상수가 필요했지만, 프리드만은 장 방정식의 해를 구할 때 공간의 크기 자체가 시간에 따라 변하는 경우를 가정하였다 (이것이 프리드만의 핵심 업적이다). 따라서 공간 안에서 물질들은 균일한 분포를 가지고 정지해 있다 하더라도 그 물질들이 들어차있는 공간 자체가 모든 곳에서 균일하게 팽창이나 수축을 할 경우, 균일한 밀도분포와 우주 공간의 동적인 진화 모두, 우주상수 없이도 일반 상대성 이론의 틀에서 가능하다.

아인슈타인의 일반 상대성이론을 이해하는 물리학자의 수가 손에 꼽을 정도였던 그 당시, 아인슈타인은 아마도 일반 상대성 이론 장 방정식의 해를 찾아내는 연구결과들을 평가할 수 있는 거의 유일한 사람이었을 텐데, 1931년경의 논문에서 우주 공간의 팽창을 제시한 프리드만의 연구결과를 긍정적으로 평가한 대목이 보인다. 그 이면에는 그전에 (1929년) 허블이 발표한, 우주의 팽창을 시사하는, 은하들의 거리-적색편이 관측이 결정적인 역할을 하였음은 부인할 수 없는 사실이다. 만약 허블의 연구결과가 나오지 않았다면 아인슈타인은 팽창, 수축하는 동적인 우주를 오랫동안 맘에 들어하지 않았을 가능성이 있다 그리고 프리드만의 연구결과도 쉽게 인정하지 않았을 가능성이 크다. 한편으로는 만약에, 아인슈타인이 일찌감치 동적인 우주를 받아들이고 프리드만이 했던 것처럼 공간의 팽창을 고려한 연구결과를 먼저 발표했다면, 허블의 연구결과가 나왔을 때 세상은 다시 한번 일반 상대성을 만든 아인슈타인의 위대함에 경의를 표했을 것이고 아인슈타인도 우주상수가 "본인의 최대 실수"라는 말을 하지 않았어도 되지 않았을까? 그런데 결국 이 우주상수는 현대 우주론에서 다시 등장해 가속팽창하는 우주를 설명하는 표준가설이 되었고, 현재는 최신 관측결과에 의해 그 존재여부가 위협받고 있는 상황이다. 세상 일은 돌고 돌며, 모든 것은 타이밍이다.

이어지는 글에서는, 프리드만의 연구결과 (수식 (8) 과 (9))가 팽창하는 우주의 이론적 모형으로 자리잡는데 결정적인 역할을 하였고, 현대 우주론의 시작이 된 "빅뱅 (대폭발)" 아이디어를 제공해 준 우주팽창의 발견에 대한 얘기를 해보기로 하자.