03. 미분(微分)과 도함수(導函數)
말만 들어도 머리가 복잡해지는 느낌을 주는 단어. 미분과 적분.
그런데 이들을 고등학교 수학의 꽃이라고들 한다. 아이러니하게도 수학을 결정적으로 포기하게 만드는 분야 또한 바로 이 미적분이니, 고딩들에겐 머랄까.. 악의 꽃이라 해야하나 싶다.
이렇게 저렇게 꼬아놓은 미적분 문제를 제대로 풀기 위해서는 방정식, 부등식, 함수, 좌표, 삼각함수, 지수, 로그, 극한 등 그동안 중고등학교에서 배운 거의 모든 분야에 대한 이해가 필요하기 때문에 어려울 수 밖에 없다.
그러나 이런 어려움 이전에 '미분'이라는 다소 어색하고 용어 자체가 주는 모호함이 일종의 '공포'를 주는 이유도 있다. 개념을 제대로 알고나면 계산과정 자체는 어렵지 않으나, 미분을 왜 하는지, 그리고 어디에 어떻게 이용되는지 제대로 배우지 못한다. 누구도 제대로 알려주지 않는것 같다.
< 미분을 발명한 뉴턴과 라이프니츠 >미분 微分 Differential, Differentiation 또는 Derivative
한자 뜻 그대로보면 '미세하게 나눈다'. 그럼 무엇을 미세하게 나누냐? 그래프에서 두 지점을 아주 잘게 나눈다는 것이다.
그럼 그래프를 왜 잘게 나눌까? 두 지점간에 상태가 얼마나 변하는지 보기 위해서이다.
아래 그림처럼 두 점 P, Q를 이으면(그래프를 선으로 나누면) 두 점간의 상태가 얼마나 변했는지 알 수 있다. 기하학적으로 생각해보면 알다시피 이런 변화의 정도는 두 점을 잇는 직선의 기울기와 같다.
< 미분의 개념 - 두 지점 간의 기울기 >그런데 위 그림처럼 P-Q의 거리를 점점 가깝게해서, P에 거의 붙을 정도로 극적으로 가깝게해서(이게 바로 극한이다, lim) 두 점 간의 변화정도를 본다면 이는 거의 P에서의 접선의 기울기, 즉 한점에서의 변화정도와 비슷할 것이다. 그럼 왜 한 점에서의 변화정도를 구할까?
세상에 변하지 않는 것은 없다. 사람도 자연도 사회도 모두 변한다. 내가 가진 돈도, 사랑도, 친구와의 우정도, 날씨도, 주식시장도, 고속도로를 달리는 자동차 속도도, 교통 상황도, 아이들의 키도, 내 몸무게도... 일년이년, 하루이틀, 일분일초 계속 변하고 있다. 밤하늘 별의 위치, 원자핵 안에 있는 전자의 위치도 시시각각 변한다.
그러면 바로 지금 이 순간에 그것이 어떻게 변하는지 알아야 할 때가 있다. 교통량이 늘어나고 있는지 줄어드는지, 날씨가 좋아지려는지 흐려지려는지, 이성친구가 날 더 좋아하고 있는 멀어지고 있는지.... 지금 이순간에 변화의 방향이 어떤지 알 수 있도록 해주는게 바로 미분이다.
즉, 미분이란 그래프를 아주 미세하게 나누 어떤 한 점, 한 순간에서의 변화정도를 알아내는 것이다. 이러한 변화정도를 다른 말로하면 순간변화율이라 한다. 또한 이 순간변화율을 미분값, 미분계수라고도 한다.
< 한 점에서의 미분 - 접선 >영어로 미분은 differentiation, 차이, 다른 것. 즉 두 점 간의 얼마나 차이가 나는지, 얼마나 변하는지 알아보는 것이다. 두 점, 두 순간의 차이, 변화.
그럼 도함수(導函數)는 무엇일까?
위와 같이 알아낸 한 점에서의 순간변화율 값들을 모두 연결하여 함수로 나타낸 것이다. 미분값들을 함수로 일반화시킨 것이다. 이렇게 미분값들을 함수로 나타내면, 모든 순간, 모든 점에서의 미분값들을 알 수 있을 것이다. 그래서 도함두를 나타낼때는 함수 형식인 f'(x)로 나타낸다.
일본은 우리와 같은 ‘미분(微分)’이란 용어를, 중국에서는 ‘도수(导数)’라는 용어를 사용한다.
