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Oct 11. 2020
수학 수식에 대한 지극히 개인적인 해석
수학은 이야기이다.
수학 공식은 로코가 될 수 없을까?
Dimitri P. Bertsekas와 John N. Tsitsiklis 가 저자인 Introduction To Probability라는 책을 보면 확률과 관련한 다양한 공식들과 그에 대한 증명이 나온다. 대학교에서는 단순히 공식들을 외우고 그것을 통해 문제를 푸는 것에서 멈추었다. 사회생활을 하면서 취미로 이런 책을 보다 보니 시험도 없고 시간도 여유롭기 때문에 단순히 공식을 외우는 것에서 더 나아가 공식의 뜻과 그 공식의 증명이 내포한 스토리 라인을 생각해보게 되었다. 굉장히 너드같이 들리지만 실제로 머리로 이런저런 상상을 하며 위와 같은 수학 책을 보면 굉장히 재미있다는 것을 느낄 수 있다!
뭐 어쨌든 결론적으로 이런저런 상상을 하며 책의 수학 공식들을 보고 있다 보니 Scott E.Page의 The Model Thinker라는 책을 읽었던 기억이 떠오르게 되었다. 왜 그러냐 하니, 그 책 자체가 다양한 수학 공식을 이야기 형식으로 풀어내고 또 실생활에서 어떻게 응용될 수 있는지 설명하는 책 이기 때문이다. 예를 들어 육면체의 부피와 무게를 구하는 수식이 있다고 해보자.
부피 = 가로 cm X 세로 cm X 길이 cm
무게 = 부피 X 밀도
그냥 적당히 생각하면 위의 공식은 단순히 "이런 공식이구나!" 하고 넘어가게 된다. 하지만 실제로 이 공식을 어디에 사용해볼 수 있을까? 예를 들어 내가 군대에 있는대 갑자기 준장이 나타내 탱크를 배에 태울 수 있냐는 헛소리를 했다고 해보자. 헛소리이지만 왠지 모르게 잘 대답을 하면 휴가를 줄 것 같다는 느낌이 뇌리를 강타했다! 이때 우리는 어떻게 답을 해야 할까?
현실적으로는 탱크의 각 부위별 밀도가 다르고 형태 또한 육면체가 아니다. 하지만 여기서 중요한 것은 대충 어림짐작으로 탱크의 몸무게와 부피를 구해서 빨리 결정을 내리고 왜 그런 결정을 했는지에 대해서 준장에게 적절히 설명하는 것이다. 그래서 위의 무게 및 부피를 구하는 수식을 사용하여 대충 구해보고 답을 하자. 당신은 3박 4일 휴가를 얻었다!
위와 같이 수학 공식은 실생활에서 지극히 유용하게 사용이 될 수 있다. 하하하. 하지만 이렇게 수학 공식을 실생활에서 적절히 사용하려면 중요한 것은 수식 자체가 아니다. 더 중요한 것은 그래서 그 수식의 목표가 무엇이고 또 각 수식의 부분들 (y = 2x + 1이라고 할 때 왜 2가 x에 곱해졌고 또 1은 왜 더해졌는가 등등)이 무엇을 뜻하는지 이해하는 것이 중요하다.
조금 더 깊이 생각해보도록 하자
예를 들어 확률에서 말하는 Random Variable이라는 것은 특정 현상이 일어날 때 그 현상의 결과로 일어날 수 있는 모든 경우들 혹은 경우들의 조합에 숫자(1,2,3)를 부여한 것이다. 예를 당시가 소개팅을 할 경우(현상) 결과적으로 당신은 실패하거나 성공하거나 둘 중에 하나의 결과를 만들어낸다. 이때 소개팅에 실패했다는 결과는 그냥 실패한 것지만 확률이라는 논리적 구조에서는 이 "결과"에 대한 확률을 좀 더 쉽게 구하기 위해 "실패" = 0이라는 숫자를 부여할 수도 있다. (실패 =0, 성공 = 1)이라는 수를 부여했으니 이제 당신의 소개팅 결과는 Random Variable이라고 불릴 수 있다.
여기서 중요한 것은 결과에 수 라를 태그를 부여한 로직 자체가 아니다. 왜 그렇게 해야만 했는지가 중요하다. 그 이유를 하나하나 되짚어가면 도대체 이전에 확률을 연구한 사람들이 무슨 생각으로 확률이라는 시스템을 만들었고 그것을 어디에 사용하려 했는지에 대해 알 수 있다. 그리고 그러한 목적과 의미를 이해할 때 확률이라는 것이 정말로 재미있어지고 또 현실에서 내 나름 사용할 수 있게 되는 것이다
또 다른 예제를 보도록 하자. 한국인의 키는 X라고 해보자. X는 0~300cm 사이의 값을 가진다고 또 해보자. 그런데 갑자기 어떤 사람이 나타나서 y = (X-"한국인의 평균 키")^2라는 수식을 들이댄다고 해보자. 그러면 음?이라는 느낌이 먼저 머리를 강타한다. 도대체 저 수식은 왜 사용하는 걷고 또 무엇을 의미하는지 차근차근 생각해보도록 하자.
일단은 X - "한국인의 평균 키"는 무엇을 뜻할까? X가 어떤 사람의 키라고 해볼 때 그 사람의 한국인의 평균 키와 얼마나 차이가 나는지 알기 위해 위의 수식을 사용한 듯하다. X - "평균 키" = 10cm이라면 나의 키가 보통의 다른 사람들 대비 10cm 정도 크다는 것을 뜻한다. 너무 좋다! 그런데 왜 그 값에 제곱을 한 것일까? 제곱의 특징은 아래와 같다
1. 음수를 양수로 만든다
2. 1을 초과하는 값은 더 크게, 1 미만의 값은 더 작게 만든다
3. 값이 크면 클수록 제곱을 통해 커지는 수치가 더 크다
제곱을 하면 X - "평균 키"가 -10cm이던 10cm이던 모두 100cm^2 가 된다. 즉 2 제곱을 사용한 수식은 당신의 키가 평균 키에 비해 큰가 작은 가에 대해서는 별 관심이 없다. 그냥 평균 키와 대비했을 때 얼마나 "차이"가 나는지에 대해서만 알고 싶어 한다. 또한 평균 키와 별 차이가 없는 수치는 효과(혹은 값)를 더 작게, 차이가 많이 나는 수치는 더 효과를 크게 만들고 싶어 한다는 것을 알 수 있다.
응? 그러면 왜 2 제곱을 사용한 것일까? 4 제곱을 안될까? 4 제곱 또한 비슷한 성징을 가지면서 큰 수는 더~~ 크게, 작은 수는 더~~~ 작게 하는데 4 제곱을 사용하면 무엇이 문제이길래 사용하지 않았을까?
위와 같이 수식에 내포하는 이야기를 하나하나 생각하다 보면 수식이 단순이 수의 조합이 아닌 매~~ 우 흥미로운 하나의 이야기가 굉~~~ 장히 축약되어 나타낸 일종의 퍼즐이자 언어라는 것을 느낄 수 있게 된다. 그리고 이때부터 수학 공식은 단순히 공식이 아니라 세상의 단면을 이해하기 위해 사람들이 만들어낸 일종의 가상적인 이야기이자 철학이라는 것을 어려 풋이 느끼게 된다.
사실 우리는 이야기를 만들고 듣는 동물이라고 할 수 있다. 그렇기에 어떤 현상이든 상관없이 그 현상이 우리가 이해하고 또 재미있게 느낄 수 있는 이야기의 형태로 다가오지 않는다면 그 현상은 단순 무작위적인 노이즈로 여기어지게 된다. 반대로 아무리 의미 없어 보이는 것들(예를 들어 수학과 물리) 또한 그것이 하나의 재미있는 이야기로 인식되기 시작하면 그것은 너무나도 재미있는 소설처럼 여기어질 수도 있고 그것에 굉장한 흥미를 느끼게 된다.
우리가 수학과 그와 연관된 과목들을 싫어하는 이유는 공식의 의미와 고민을 이해하려는 노력하고 그것을 하나의 이야기로 느끼려는 것이 아니라 단순히 심벌들의 조합으로 생각하고 외우기 때문이 아닐까?
결론 : 수학 공식은 세상을 이해하기 위해 만든 일종의 가상의 이야기 틀이다
