확률에 대한 지극히 개인적인 해석(Part 1)

평행세계와 믿음의 시스템

확률은 세상의 불확실성을 모델로 만든 언어이다

세상은 다양한 현상들로 넘쳐나고 그 현상들을 있는 그대로 인식한다는 것은 아무것도 이해하지 못한다는 것이다. 우리는 현상에서 패턴을 발견하고 그 패턴을 기반으로 세상이 어떻게 돌아가는지 이해한다. 모든 학문들을 현상의 특정한 면들에 초점을 맞추고 그 부분을 모델화 하여 현상을 이해하려고 하는 도구들이라고 생각을 한다. 단순히 "사회"만 보더라도 사회 심리학, 사회학, 역사학 등등의 사회를 이해하기 위한 다양한 학문들이 있고 각각의 한문들의 "사회"의 특정한 부분을 연구하고 분석하고 패턴화 한다.

그렇다면 확률은 무엇에 관한 학문일까?  Dimitri P. Bertsekas와 John N. Tsitsiklis 저자인 Introduction To Probability라는 책을 보면 확률은 현실의 불확실성을 모델화하고 이해하기 위해 만들어진 논리의 시스템 이다. 애초에 확률이라는 것이 연구되기 시작한 이유가 포커카드 게임에서 내가 이길 경우의 수를 계산하다가 만들어진 것이 아닌가! 즉, 내가 현실의 모든 정보들을 알지 못하는 상태의 제한적인 상황을 고려하여 앞으로 나올 수 있는 모든 결과들 중에 어떤 결과가 가장 그럴듯한 (만들어질 것 같은) 결과인지 예측하기 위해 확률이 사용된 것이다.

사실 나도 대학교에서 확률을 배울 때는 확률이라는 시스템 (혹은 언어라고도 할 수 있다) 아래에 살짝 감추어져 있는 철학과 사상들에 대해서 일도 신경을 쓰지 않고 수식만 외웠다. 그러다가 사회에 나와서 직장을 다니다가 다시 확률 책을 들쳐보니 이렇게 재미있을 수가!

내가 확률에서 가장 재미있게 생각된 것은 도대체 확률이란 것을 어떻게 해석해야 하는가이다. 예를 들어 내가 병에 걸릴 확률이 50% 라고 할 때 이 50% 라는 확률은 무엇을 뜻하는 것일까? 가장 보편적으로 알려진 "똑같은 실험을 많이 반복해보는 경우, 결과들 중에 절반(50%)이 특정 결과 값을 가진다"라는 개념에서 보면 사실 말이 안 되는 부분이 있다. 나는 지금 이 순간에 한 명밖에 없고 또 시간이 지남에 따라 나의 모든 것들이 (예를 들어 혈류와 당 수치 라던가) 조금씩 변할 수 밖이 없다. 따라서 위의 개념 아래 50%라는 확률을 해석하려면 지금 이 순간 나와 똑같은 환경과 조건을 가진 사람들이 1000명 정도 있고(평행세계?) 그중 몇 명이 병에 걸리는지 측정할 수 있어야 50% 라는 확률을 구할 수 있다.

더 재미있는 것은 "완벽히 똑같은 환경 아래"라는 말을 더 파고 들어가 보면 이 또한 말이 되지 않는다는 것을 알 수 있다. 모든 원자와 그 원자들의 움직임이 똑같은 상태에서 그다음 일어날 일은 몇 번을 시도하던지 상관없이 완벽히 동일한 결과가 나올 수 밖이 없기 때문이다

그렇다면 "동일한 환경 하래 실험을 많이 반복하는 경우"라는 말은 결과에 영향을 미치는 조건이 대략적으로 비슷한 경우(동전 던지기 라면 동전의 상태와 던지는 사람?) 다른 세세한 그리고 미묘한 환경 조건이 계속 바뀌는 상황에서(자기장? 던지는 사람의 그때 컨디션?) 실험이 계속되는 경우 대략적으로 해당 결과가 나오는 경우가 몇 % 인가로 해석하는 것이 맞다.

그런데 또 재미있는 것은 위와 같이 조건을 조금 완화시키더라도 나는 한 명 밖이 없고 병에 걸리는 것을 반복할 수 없기 때문에 (1년 후의 나는 완전히 다른 사람이기에 결과에 영향을 미치는 주요 조건이 완전히 달라져서 아예 다른 실험이 된다) 위의 계념으로도 50%라는 확률을 해석할 수 없는 것이다. 위의 개념을 해석하기 위해서는 나와 비슷한 나이 때와 건강 조건 그리고 라이프 스타일을 가진 사람들을 나의 복제된 도플갱어라고 생각을 해보자. 그리고 그 사람들이 1년 내에 병에 걸리는 경우를 구한 후 전체 사람들의 수 중 몇 % 가 병에 걸렸는지를 구한다. 그리고 그 확률이 지금 환경에서 나라는 사람이 병에 걸릴 확률이 되는 것이다

그런데 사실 내가 병에 걸릴 확률은 계속 변할 수 밖이 없다. 왜냐하면 나는 계속 변하는 객체이기 때문이다(운동을 하기로 결심 한다던가, 아니면 야식을 먹기 시작한다던가). 그러면 계속 변하는 나라는 사람의 병에 걸릴 확률 또한 계속 변할 수 밖이 없는데 그렇게 변하는 확률을 어떻게 구할 수 있을까? 또 나와 비슷한 사람들이 병에 걸릴 확률이 정확히 몇 % 인지 모를 수도 있는데 그럴 경우에는 내가 병에 걸릴 확률을 어떻게 구할 수 있을까?

그것은 다음 글에서 설명하도록 하겠다