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by 김동희 Aug 18. 2021

갈릴레이 상대성

상대성 이론

오늘날의 지구촌 사회에서 GPS 만큼 중요한 것은 없다. 이 정보는 원리적으로 움직이는 모든 것을 알아내게 하는 전초의 역할을 한다. 정확한 위치를 알기 위해서 최소한 3대의 전담 위성이 지구 상을 돌아야 하며 위성에서 정확한 시간 측정이 이루어져야 한다. 시간을 정확히 알아야 거리를 정확히 잴 수 있기 때문이다. 그런 이유로 오늘날의 GPS 위성에는 가장 정확한 시계인 세슘원자시계가 탑재되어 있다. 그런데 GPS 위성들은 지상에서 약 1만 7600 킬로미터 상공에서 시속 2천 킬로미터의 속도로 지구 주위를 돌고 있다. 특수 상대론에 따르면 움직이는 물체는 정지한 것에 비해 시간이 느리므로 매일 위성에 탑재된 시계의 시간은 지상의 시간보다 백만 분의 7초 늦어진다. 일반 상대론에 따르면 중력에 의해 시간의 지연 효과가 있으므로 지표면보다 약한 중력 때문에 위성에서의 시간은 지표면보다 백만 분의 45초 빨라진다. 두 효과를 합하면 매일 GPS 위성 시계는 백만 분의 38초씩 늦어진다.

이론대로라면 GPS 시스템은 매일 45 나노초 (십억 분의 45초) 내에서 정확해야 하므로 백만 분의 38초는 엄청난 오차를 유발하여 위치 정보가 매일 10 km 정도 엇나가게 된다. 이 정도의 오차라면 달리던 자동차의 내비는 도로 대신 바다 위를 가리킬 것이고 유도탄은 있으나 마나 할 것이고 모든 위치 관련 추적은 신뢰를 상실할 것이다. 일부 GPS 관련 공학자들은 상대론 효과를 아예 믿지 않아 1970년대에 탑재된 세슘원자시계를 너무 과신한 나머지 상대론적 보정 프로그램을 꺼버린 적이 있었다. 즉각적으로 GPS는 잘못된 정보를 쏟아내기 시작했다. 아인슈타인의 상대론은 허구가 아니고 과학이다.

아인슈타인의 상대론은 시간과 공간에 대한 기존 개념을 완전히 바꾸었다. 이해를 위해 우선 기존의 시간과 공간의 개념을 알아보자. 뉴턴의 세계관에서 물체의 운동은 시간과 공간이 서로 독립적으로 규정될 수 있다. 뉴턴의 제1 법칙인 관성의 법칙에 준거하여 두 관찰자를 생각하자. 한 사람은 절대공간에 대해서 정지해 있고 다른 사람은 일정한 속력으로 한 방향을 따라 움직인다. 두 관찰자는 절대공간을 따라 가속도가 없으므로 모두 관성계에 있다. 각각의 관찰자가 있는 위치를 좌표계의 원점으로 하여 좌표를 설정하여 두 기준계를 설정하자.

각 기준계에서 일어나는 어떠한 시간과 공간의 국소적 사건도 서로 상대적으로 3차원 공간 좌표와 그때의 시간으로 표현할 수 있다. x 방향으로 움직이는 관찰자(움직이는 계)가 알아낸 물체의 위치는 정지하여 있는 관찰자(정지계)가 측정한 x 방향의 위치로부터 관찰자가 움직인 만큼의 거리를 빼면 된다. 나머지 공간 좌표와 시간 좌표는 두 관찰자에 대해서 변하지 않을 것이다. 물체의 상대 운동에 관한 이러한 규칙을 갈릴레이 변환이라 한다. 만약 물체가 x 방향으로 어떤 속력으로 움직인다면 움직이는 계에서 측정한 물체의 속력은 정지계에서 측정한 물체의 속력에 좌표계가 움직이는 속력을 뺀 것이므로 두 계 모두 가속도는 없다. 그러므로 관성계에서는 관찰자와 관계없이 가속도는 측정되지 않는다. 그러므로 절대공간에 상대적으로 일정한 속력으로 움직이는 물체의 운동은 뉴턴 역학에서는 절대로 감지될 수 없다.

이번에는 물체가 가속되는 경우를 고려하자. 정지계에서 물체의 위치, 속력과 가속도가 측정되었다면 뉴턴 역학의 F=ma에 따라 예측된 것이다. 이때 모든 관찰자는 주어진 시간에 입자에 가해진 힘의 크기와 방향과 질량에 대해 같은 양을 측정한다. 움직이는 계가 정지계에 대하여 상대적으로 가속을 하지 않는 한 모든 관찰자는 특정 시간에 입자의 가속도를 모두 같게 측정할 것이다. 그러므로 우주의 모든 입자의 운동은 절대공간에 관하여 뉴턴의 운동 방정식을 따르며 어떠한 관성계에서도 운동 법칙은 불변이다. 뉴턴 역학의 이러한 관점으로 물리의 모든 법칙은 관성계에서 불변이라고 믿어져 왔고 갈릴레이 변환으로 표현되었다.

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